Cos 2x + 2sin 2x + 2 = 0? - Trigonometria 2025

Vastaus:

$x = arctan (-3) + 180 ^ circ k tai x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad$ kokonaisluku $K.$

Selitys:

Olen tehnyt tämän kahdella eri tavalla, mutta mielestäni tämä kolmas tapa on paras. Kosinille on olemassa useita kaksikulmaisia kaavoja. Älkäämme ketään houkuttelemaan. Vältetään myös yhtälöiden neliöimistä.

$cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0$

$cos 2x + 2 sin 2x = -2$

Kosiniinin ja sinin lineaarinen yhdistelmä on vaihesiirtynyt kosinus.

Päästää $r = qrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2}$ ja

$theta = text {Arc} teksti {tan} (2/1)$

Osoitin tärkeimmän käänteisen tangentin, täällä ensimmäisellä neljänneksellä, noin $Theta = 63,4 ^ circ$ . Olemme varmoja

$r cos theta = qrt {5} (1 / qrt {5}) = 1$

$r sin theta = qrt {5} (2 / qrt {5}) = 2$

Joten voimme kirjoittaa yhtälömme uudelleen

$sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / qrt {5}) sin 2x) = -2$

$(1 / qrt {5}) cos 2x + (2 / qrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5}$

$cos 2x cos theta + sin 2x synti theta = -2 / sqrt {5}$

$cos (2x - theta) = sin (-theta)$

$cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta)$

Muista aina yleinen ratkaisu $cos x = cos a$ on $x = pm a + 360 ^ circ k quad$ kokonaisluku $K$ .

$2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k$

$2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k$

$x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k$

Merkkien ottaminen yksi kerrallaan

$x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k tai x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k$

$phi = theta + 45 ^ circ$ on vakio, jonka voimme yrittää saada paremman ilmaisun:

$tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ)$

$= {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3$

Me tiedämme $Phi$ on toisessa kvadrantissa, ei tavanomaisella pääarvon alueella.

$phi = teksti {Arc} teksti {tan} (- 3) + 180 ^ circ$

Tämä osoittautuu merkityksettömäksi, koska lisäämme $180 ^ circ k$ että $Phi$ yleisessä ratkaisussa. Kaikki yhdistetään, $x = arctan (-3) + 180 ^ circ k tai x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k$

Meidän ei tarvitse olla tarkkoja Arctanin tärkeimmistä arvoista. koska olemme lisäämässä $180 ^ circ k$ mikä tahansa arvo tekee. Voisimme kirjoittaa ensimmäisen $X = arctan (-3)$ kanssa $180 ^ circ k$ oletetaan, mutta jätetään se tänne.