Vastaus:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k tai x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # kokonaisluku # K. #
Selitys:
Olen tehnyt tämän kahdella eri tavalla, mutta mielestäni tämä kolmas tapa on paras. Kosinille on olemassa useita kaksikulmaisia kaavoja. Älkäämme ketään houkuttelemaan. Vältetään myös yhtälöiden neliöimistä.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Kosiniinin ja sinin lineaarinen yhdistelmä on vaihesiirtynyt kosinus.
Päästää # r = qrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # ja
# theta = text {Arc} teksti {tan} (2/1) #
Osoitin tärkeimmän käänteisen tangentin, täällä ensimmäisellä neljänneksellä, noin # Theta = 63,4 ^ circ #. Olemme varmoja
#r cos theta = qrt {5} (1 / qrt {5}) = 1 #
# r sin theta = qrt {5} (2 / qrt {5}) = 2 #
Joten voimme kirjoittaa yhtälömme uudelleen
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / qrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / qrt {5}) cos 2x + (2 / qrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x synti theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Muista aina yleinen ratkaisu #cos x = cos a # on # x = pm a + 360 ^ circ k quad # kokonaisluku # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Merkkien ottaminen yksi kerrallaan
# x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k tai x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # on vakio, jonka voimme yrittää saada paremman ilmaisun:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Me tiedämme # Phi # on toisessa kvadrantissa, ei tavanomaisella pääarvon alueella.
#phi = teksti {Arc} teksti {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Tämä osoittautuu merkityksettömäksi, koska lisäämme # 180 ^ circ k # että # Phi # yleisessä ratkaisussa. Kaikki yhdistetään, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k tai x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Meidän ei tarvitse olla tarkkoja Arctanin tärkeimmistä arvoista. koska olemme lisäämässä # 180 ^ circ k # mikä tahansa arvo tekee. Voisimme kirjoittaa ensimmäisen # X = arctan (-3) # kanssa # 180 ^ circ k # oletetaan, mutta jätetään se tänne.
