Miten löydät ensimmäiset kolme ehtoa Maclaurin-sarjassa f (t) = (e ^ t - 1) / t: lle käyttäen Macaurin-sarjaa e ^ x?

Tiedämme, että Maclaurin sarja # E ^ x # on

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Voimme myös johtaa tämän sarjan käyttämällä Maclaurinin laajennusta #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # ja se, että kaikki # E ^ x # on edelleen # E ^ x # ja # E ^ 0 = 1 #.

Korvaa nyt edellä mainitut sarjat

# (E ^ x-1) / x #

# = (Sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (Sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X #

# = Sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Jos haluat, että indeksi alkaa # I = 0 #, yksinkertaisesti korvaa # N = i + 1 #:

# = Sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Arvioi nyt vain kolme ensimmäistä ehtoa

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #