Marsin pintalämpötila on keskimäärin noin 200K. Pluton keskilämpötila on noin 40 K. Mikä planeetta tuottaa enemmän energiaa neliömetriä kohti pinta-alaa sekunnissa? Kuinka paljon?

Vastaus:

Mars päästää #625# enemmän kuin energiaa kohti pinta-alaa kuin Pluto.

Selitys:

On ilmeistä, että kuumempi kohde päästää enemmän mustaa kehon säteilyä. Niinpä tiedämme jo, että Mars päästää enemmän energiaa kuin Pluto. Ainoa kysymys on, kuinka paljon.

Tämä ongelma edellyttää molempien planeettojen lähettämän mustan kehon säteilyn energian arviointia. Tätä energiaa kuvataan lämpötilan ja säteilevän taajuuden funktiona:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Yli taajuuden integrointi antaa kokonaistehon pinta-alalta lämpötilan funktiona:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(Huomaa, että yllä oleva yhtälö käyttää # BARH #, pienempi Planckin vakio eikä # H #. Sosratin merkinnässä on vaikea lukea

Näiden kahden välisen suhteen ratkaiseminen on siis uskomattoman yksinkertainen. Jos # T_p # on Pluton lämpötila ja # T_m # on Marsin lämpötila sitten tekijä # A # voidaan laskea seuraavasti:

# (Pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / peruuta (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / peruuta (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # kertaa enemmän