Miten löydät binomaalisen laajennuksen (2x + 3) ^ 3: lle?

Vastaus:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Selitys:

Pascalin kolmion avulla on helppo löytää jokainen binominen laajennus:

Jokainen tämän kolmion termi on kahden sanan summa ylimmässä rivissä. (esimerkki punaisena)

#1#

#1. 1#

#color (sininen) (1. 2. 1) #

# 1. väri (punainen) 3. väri (punainen) 3. 1 #

# 1. 4. väri (punainen) 6. 4. 1 #

…

Lisäksi jokaisella rivillä on yksi binominen laajennus:

Ensimmäinen rivi, teho #0#

Toinen, teho #1#

Kolmas, valta #2#…

Esimerkiksi: # (A + b) ^ 2 # käytämme kolmannen rivin sinistä tämän laajennuksen jälkeen:

# (a + b) ^ 2 = väri (sininen) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + väri (sininen) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + väri (sininen) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Sitten: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Valtaan #3#:

# (a + b) ^ 3 = väri (vihreä) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + väri (vihreä) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + väri (vihreä) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + väri (vihreä) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Sitten # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Joten tässä meillä on #COLOR (punainen) (a = 2 x) # ja #COLOR (sininen) (b = 3) #:

Ja # (2x + 3) ^ 3 = väri (punainen) ((2x)) ^ 3 + 3 * väri (punainen) ((2x)) ^ 2 * väri (sininen) 3 + 3 * väri (punainen) ((2x)) * väri (sininen) 3 ^ 2 + väri (sininen) 3 ^ 3 #

Siksi: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Vastaus:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Selitys:

# (2x + 3) ^ 3 #

Käytä summamenetelmää, jossa # (A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# A = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2 x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2 x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #