Mikä on paloittain jatkuva toiminto? + Esimerkki

Vastaus:

Jatkuvasti jatkuva toiminto on toiminto, joka on jatkuvaa lukuun ottamatta rajallista määrää pisteitä sen toimialueella.

Selitys:

Huomaa, että osittain jatkuvan toiminnon epäjatkuvuuspisteiden ei tarvitse olla irrotettavia epäjatkuvuuksia. Emme edellytä, että toiminto voidaan tehdä jatkuvaksi määrittelemällä se uudelleen näissä kohdissa. Riittää, että jos jätämme nämä pisteet verkkotunnuksesta pois, funktio on rajoitettuun verkkotunnukseen jatkuva.

Harkitse esimerkiksi toimintoa:

#s (x) = {(-1, "jos x <0"), (0, "jos x = 0"), (1, "jos x> 0"):} #

kaavio {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Tämä on jatkuvaa kaikille #x RR: ssä paitsi #x = 0 #

Pysyvyys klo # X = 0 # ei ole irrotettava. Emme voi määritellä uudelleen #s (x) # siinä vaiheessa ja saat jatkuvan toiminnon.

at # X = 0 # funktio "hyppää". Vielä muodollisemmin siinä kielellä, jolla me löydämme:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Niinpä vasen raja ja oikea raja ovat eri mieltä toistensa kanssa ja funktion arvolla # X = 0 #.

Jos suljetaan pois rajalliset epäjatkuvuusjoukot verkkotunnuksesta, niin tähän uuteen toimialueeseen rajoitettu toiminto on jatkuva.

Esimerkissämme on määritelmä #s (x) # funktiona # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # on jatkuva.

Jos piirrämme #s (x) # rajoittuu tähän verkkotunnukseen, se näyttää silti epäjatkuvalta #0#, mutta #0# ei kuulu verkkotunnukseen, joten "hyppy" ei ole merkityksellinen. Joka tapauksessa, mielivaltaisesti lähellä #0#, voimme valita sen ympärillä olevan pienen avoimen aikavälin, jossa toiminto on (vakio ja siksi) jatkuva.

Hieman sekava, toiminto #tan (x) # pidetään jatkuvana - eikä paloittain jatkuvana, koska asymptootit ovat #x = pi / 2 + n pi # eivät kuulu verkkotunnukseen.

kaavio {tan (x) -10.06, 9.94, -4.46, 5.54}

Samaan aikaan sahanterä toimii #f (x) = x - lattia (x) # sitä ei pidetä jatkuvana jatkuvana funktiona # RR # että # RR #, mutta on osittain jatkuva kaikilla rajallisilla avoimilla aikaväleillä.

kaavio {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (rusketus (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}