Mikä on (t-3, t + 4) kaaren pituus t: ssä [2,4]?

Vastaus:

# A = 2sqrt2 #

Selitys:

Parametrisen kaaren pituuden kaava on:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) t

Aluksi löydämme kaksi johdannaista:

# Dx / dt = 1 # ja # Dy / dt = 1 #

Näin kaaren pituus on:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Itse asiassa, koska parametrinen toiminto on niin yksinkertainen (se on suora viiva), emme edes tarvitse integroitua kaavaa. Jos piirrämme funktion kaaviossa, voimme vain käyttää tavallista etäisyyden kaavaa:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Tämä antaa meille saman tuloksen kuin integraali, joka osoittaa, että kumpikin menetelmä toimii, vaikka tässä tapauksessa suosittelen graafista menetelmää, koska se on yksinkertaisempi.