Ilman laskimen ratkaisutoiminnon käyttöä ratkaistaan yhtälö: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Vastaus:

Nollat ovat # X = 5 #, # X = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Selitys:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Meille sanotaan # (X-5) # on tekijä, joten erota se toisistaan:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Meille sanotaan # (X + 2) # on myös tekijä, joten erota se ulos:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Jäljelle jäävän neliöarvon diskantti on negatiivinen, mutta voimme silti käyttää nelikulmaista kaavaa löytääksesi monimutkaiset juuret:

# X ^ 2-2x + 3 # on muodossa # Ax ^ 2 + bx + c # kanssa # A = 1 #, # B = -2 # ja # C = 3 #.

Juuret annetaan neliökaavalla:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Kokeile tietämättä sitä # (X-5) # ja # (X + 2) # ovat tekijöitä.

Jatkuva termi vastaa juuretuotetta

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Tämä kerroin on kokonaisluku, jonka tekijät ovat #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Yritämme nähdä nämä arvot

#p (-2) = p (5) = 0 # kaksi juurta.

Voimme edustaa polynomia kuin

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Oikean puolen laskeminen ja molempien osapuolten vertailu

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Ratkaisu # (A, b) # saamme # A = -2, b = 3 #

Arvioidaan juuret # X ^ 2-2x + 3 = 0 # saamme # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #