Mitkä ovat f (x) = x ^ 2 + 9x +1 paikalliset ääriarvot, jos sellaisia on?

Vastaus:

Parabolaella on täsmälleen yksi ääripää, kärki.

se on #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Siitä asti kun # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # kaikkialla funktio on kovera kaikkialla, ja tämän kohdan on oltava vähintään.

Selitys:

Sinulla on kaksi juurta parabolan kärjen löytämiseen: yksi, käytä laskennan avulla, että johdannainen on nolla; kaksi, välttää laskennan hinnalla millä hyvänsä ja suorita neliö. Käytämme käytännössä laskelmia.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, meidän on otettava tämä johdannainen.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Johdannaisen lineaarisuuden perusteella

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Tehosääntöjen käyttäminen # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # meillä on

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Määritämme tämän nollaan kriittisten pisteiden löytämiseksi, paikalliset ja globaalit minimit ja maksimit ja joskus taittopisteet sisältävät nollan johdannaisia.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

joten meillä on yksi kriittinen kohta # X = -9/2 # tai #-4 1/2#.

Voit etsiä sen kriittisen pisteen y-koordinaatin, johon me olemme # X = -9/2 # takaisin toimintoon

#f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Kriittinen piste / piste on #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Tiedämme sen, koska #A> 0 #, tämä on maksimi.

Jotta muodollisesti löydettäisiin, jos se on maksimi tai minimi, meidän on tehtävä toinen johdannaistesti.

# {d ^ 2f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Toinen johdannainen on 2 kaikilla x: n arvoilla. Tämä tarkoittaa sitä, että se on suurempi kuin nolla kaikkialla, ja funktio on kovera kaikkialla (se on parabola #A> 0 # loppujen lopuksi), joten ääriarvon on oltava vähintään, huippu.