Mikä on funktion f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2) alue?

Vastaus:

Alue on #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

Selitys:

Huomaa, että nimittäjä on määrittelemätön aina

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, se on aina

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

tai

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, missä #n ZZ: ssä (# N # on kokonaisluku).

Kuten # X # lähestymistavat #x_ (1, n) # alhaalta, #F (x) # lähestymistavat # - infty #, vaikka jos # X # lähestymistavat #x_ (1, n) # ylhäältäpäin #F (x) # lähestymistavat # + Infty #. Tämä johtuu jakamisesta "lähes #-0# tai #+0#'.

varten #x_ (2, n) # tilanne on päinvastainen. Kuten # X # lähestymistavat #x_ (2, n) # alhaalta, #F (x) # lähestymistavat # + Infty #, vaikka jos # X # lähestymistavat #x_ (2, n) # ylhäältäpäin #F (x) # lähestymistavat # -Infty #.

Me saamme sekvenssin, jonka aikana #F (x) # on jatkuvaa, kuten kaaviosta näkyy. Harkitse ensin "kulhoja" (joiden päätteeksi toiminto puhaltaa.) # + Infty #). Jos löydämme paikalliset minimit näillä aikaväleillä, tiedämme sen #F (x) # olettaa kaikki arvot tämän arvon ja # + Infty #. Voimme tehdä samoin "ylösalaisin kulhoille" tai "korkeiksi".

Huomaa, että pienin positiivinen arvo saadaan aina, kun nimittäjä on #F (x) # on niin suuri kuin mahdollista #sin (x) = 1 #. Päätämme siis, että pienin positiivinen arvo #F (x) # on #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Suurin negatiivinen arvo on samoin havaittu #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Jatkuvuuden vuoksi #F (x) # epäjatkuvuuksien ja väliarvon lauseen välissä voidaan päätellä, että #F (x) # on

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

Kovat kiinnikkeet merkitsevät sitä, että numero sisältyy intervalliin (esim. #-1/2#), kun taas pehmeät sulkeet merkitsevät sitä, että numeroa ei ole.

kaavio {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}