Vastaus:
# "Tässä ei ole helppoa faktorointia. Vain yleinen menetelmä" #
# "kuutioyhtälön ratkaisemiseksi voi auttaa meitä täällä." #
Selitys:
# "Voisimme soveltaa menetelmää sijainnin korvaamisen perusteella." #
# "Jakaminen ensimmäisellä kertoimella:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Korvaaminen" x = y + p "in" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "tuottaa:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "jos otamme" 3p + a = 0 "tai" p = -a / 3 ", ensimmäinen kerroin" # # "tulee nolla, ja saamme:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(jossa" p = -2/3 ")" #
# "Korvaaminen" y = qz "kohdassa" y ^ 3 + b y + c = 0 ", tuotot:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "jos otamme" q = sqrt (| b | / 3) ", kerroin z tulee" #
# "3 tai -3, ja saamme:" #
# "(tässä" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Korvaaminen" z = t + 1 / t ", tuotot:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Korvaaminen" u = t ^ 3 ", tuottaa neliöyhtälön:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Kvadraattisen yhtälön juuret ovat monimutkaisia." #
# "Tämä tarkoittaa, että meillä on 3 todellista juurta kuutioyhtälössämme." #
# "Tämän kvadratiivisen yhtälön juuret ovat" #
# u = -0,93925169 + 0,34322917 i #
# "Muuttujien korvaaminen takaisin, tuotot:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0,59750263 - 0,80186695 i.
# => z = 1,19500526 + i 0,0.
# => y = 1,93100097 + i 0,0.
# => x = 1,26433430 #
# "Muut juuret löytyvät jakamalla ja ratkaisemalla" # # "jäljellä oleva neliöyhtälö." #
# "Muut juuret ovat todellisia: -3.87643981 ja 0.61210551." #
Vastaus:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
missä:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Selitys:
Ottaen huomioon:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Huomaa, että tämä tekee paljon helpommaksi, jos kysymyksessä on virhe.
Esimerkiksi:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-väri (punainen) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + väri (punainen) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Jos kuutiometri on oikeassa annetussa lomakkeessa, sen nollat ja tekijät löytyvät seuraavasti:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus-muunnos
Jotta saataisiin tehtäväksi ratkaista kuutiometrin yksinkertaisempi, teemme kuutiometrin yksinkertaisemman käyttämällä lineaarista korvausta, joka tunnetaan Tschirnhaus-muunnoksena.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
missä # T = (6x + 4) #
Trigonometrinen korvaaminen
Siitä asti kun #F (x) # on #3# todelliset nollat, Cardanon menetelmä ja vastaavat johtavat ilmaisuihin, jotka sisältävät monimutkaisten numeroiden palamattomia kuutiojuuria. Mieluummin tällaisissa olosuhteissa on käyttää trigonometristä korvausta.
Laittaa:
#t = k cos theta #
missä #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Sitten:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (valkoinen) (0) = k ^ 3 cos ^ 3-teeta - 282 k cos theta + 1712 #
#color (valkoinen) (0) = 94k (4 cos ^ 3-theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (valkoinen) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Niin:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712 sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Niin:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Niin:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Niin:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Mikä antaa #3# erilliset kuutiometrit # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # varten #n = 0, 1, 2 #
Sitten:
#x = 1/6 (t-4) #
Niinpä mainitun kuutiometrin kolme nollaa ovat:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
likimääräisiä arvoja:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
