Mikä on sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n: n lähentymisväli? Ja mikä on summa x = 3?

$Mikä on sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n: n lähentymisväli? Ja mikä on summa x = 3?$

Vastaus:

# - oo, -4 "U" 5, oo "on x": n lähentymisväli "

# "x = 3 ei ole lähentymisintervallissa, joten summa x = 3 on" oo #

Selitys:

# "Käsittele summaa kuin se olisi geometrinen sarja korvaamalla" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Sitten meillä on" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "varten" | z | <1 #

# "Niinpä lähentymisväli on" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "TAI" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatiivinen)" #

# "Positiivinen tapaus:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 ja x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negatiivinen tapaus:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 ja x <5 #

# => x <-4 #

# "Toinen osa:" x = 3 => z = 2> 1 => "summa on" oo #

Kun tiedetään kaavan N kokonaislukujen summa a) mikä on ensimmäisten N peräkkäisten neliön kokonaislukujen summa, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Ensimmäisten N peräkkäisten kuution kokonaislukujen summa Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Meillä on summa_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = summa_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = summa_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + summa_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ n + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 summa_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni, mutta summa_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 niin sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3-

Mikä on aika_ {n = 0} ^ {t}} (cos x) ^ n lähentymisväli?

Katso alempaa. Polynomin identiteetin käyttäminen (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdotit + x ^ (n-1) meillä on abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) sitten x ne k pi, k: ssa ZZ: ssä on summa_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Mikä on x, jos log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x)?

Ratkaisua ei ole RR: ssä. Ratkaisut CC: ssä: väri (valkoinen) (xxx) 2 + i väri (valkoinen) (xxx) "ja" väri (valkoinen) (xxx) 2-i Ensinnäkin käytä logaritmin sääntöä: log_a (x) + log_a (y) = log_a (x * y) Tässä tarkoittaa, että voit muuttaa yhtälösi seuraavasti: log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x) <=> log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) Tässä vaiheessa, koska logaritmipohjasi on> 1, voit "pudottaa" logaritmin molemmilta puolilta, koska log x = log y <=> x = y x: lle, y> 0. Ole varovainen, et