Vastaus:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Selitys:
Jotta tämä ongelma olisi järkevää # 4-9x ^ 2> = 0 #, niin # -2/3 <= x <= 2/3 #. Siksi voimme valita a # 0 <= U <= pi # niin että # X = 2 / 3cosu #. Tämän avulla voimme liittää muuttujan x integraalissa käyttämällä # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # tässä me käytämme sitä # 1-cos ^ 2U = sin ^ 2u # ja että # 0 <= U <= pi # #sinu> = 0 #.
Nyt käytämme integrointia osien avulla # Intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Siksi # Intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Joten olemme löytäneet #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, nyt korvataan # X # takaisin # U #, käyttämällä # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, niin #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Voimme edelleen yksinkertaistaa tätä käyttämällä sinien ja kosinien määritelmää kolmioina. Oikea kolmio, jossa on kulma # U # toisessa oikeassa kulmassa, # sinu = "vastakkainen puoli" / "pisin sivu" #, sillä aikaa # cosu = "viereinen puoli" / "pisin sivu" #, koska tiedämme # Cosu = (3x) / 2 #, voimme valita viereisen sivun # 3x # ja pisin sivu #2#. Pythagoras-lauseen avulla löydämme vastakkaisen puolen #sqrt (4-9x ^ 2) #, niin #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Siksi #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
