Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Laske odotusarvo missä tahansa myöhemmässä ajassa t = t_1, phi_n ovat ääretön potentiaalikaivon energiaominaisuuksia. Kirjoita vastaus E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Laske odotusarvo missä tahansa myöhemmässä ajassa t = t_1, phi_n ovat ääretön potentiaalikaivon energiaominaisuuksia. Kirjoita vastaus E_0?
Anonim

No, saan # 14 / 5E_1 #… ja valitun järjestelmän vuoksi sitä ei voi ilmaista uudelleen # E_0 #.

Tässä kysymyksessä on niin paljon kvanttimekaniikan sääntöjä, jotka rikkoutuvat …

  • # Phi_0 #, koska käytämme äärettömän potentiaalisen hyvin ratkaisuja, se katoaa automaattisesti … #n = 0 #, niin #sin (0) = 0 #.

Ja kontekstissa olimme päästäneet #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • se on mahdoton voit kirjoittaa vastauksen # E_0 # koska #n = 0 # EI ole olemassa ääretöntä potentiaalia varten. Ellei haluat hiukkasen kadota , Minun täytyy kirjoittaa se # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Energia on liikkeen vakio, so. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Joten nyt…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) synti ((2pix) / L) #

Odotusarvo on liikkeen vakio, joten emme välitä, mihin aikaan # T_1 # me valitsemme. Muuten tämä ei ole konservatiivinen järjestelmä …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # joillekin #n = 1, 2, 3,… #

Itse asiassa tiedämme jo, mitä sen pitäisi olla, koska Hamiltonin yksiulotteinen ääretön potentiaali on aika-KATKAISU …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

ja # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # siirry kohtaan 1:

#color (sininen) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

missä olemme antaneet #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Jälleen kaikki vaihekertoimet peruuntuvat, ja huomautamme, että poikkileikkaukselliset termit menevät nollaan johtuen ortogonaalisuudesta. # Phi_n #.

Nimittäjä on # Psi #, mikä on

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Siksi, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Se antaa:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) peruuta (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) peruuta (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) peruuta (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) synti ((2pix) / l) peruuttaa (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Käytä johdannaisia:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) syn ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / l) dx #

Constantit kelluvat:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 ml ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) syn ((2pix) / L) dx #

Ja tämä integraali tunnetaan fyysisten syiden vuoksi puolivälissä #0# ja # L #, itsenäinen # N #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = väri (sininen) (14/5 E_1) #

Vastaus:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Selitys:

Jokainen kiinteä tila vastaa energian ominaisarvoa # E_n # poimii vaiheen tekijän #e ^ {- iE_n t} # ajan kehityksessä. Annettu tila on ei kiinteä tila - koska se on eri ominaisarvoihin kuuluvien energian ominaisarvojen superpositio. Tämän seurauksena se kehittyy ajallisesti ei-triviaalisella tavalla. Kuitenkin Schroedingerin yhtälö, joka säätää tilojen kehittymistä, on lineaarinen - niin että jokainen komponenttienergian ominaistoiminto kehittyy itsenäisesti - poimimalla oman vaihekertoimensa.

Joten käynnistysaalto-toiminto

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

kehittyy ajoissa # T # että

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Siten energian odotusarvo ajankohtana # T # on antanut

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hattu {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hattu {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) kertaa (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

missä olemme käyttäneet sitä, että #phi_i (x) # ovat energiaominaisuuksia, joten #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Tämä antaa meille vielä yhdeksän termiä. Lopullinen laskenta yksinkertaistuu kuitenkin paljon, sillä energian ominaistoiminnot ovat orto-normalisoituja, toisin sanoen he tottelevat

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Tämä tarkoittaa sitä, että yhdeksästä integraalista vain kolme selviää, ja saamme

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Käyttämällä vakiotulosta #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, meillä on # E_1 = 4E_0 # ja # E_2 = 9E_0 # ääretöntä potentiaalia varten (saatat olla tottuneempi ilmaisuun, joka sanoo #E_n propto n ^ 2 # äärettömän hyvin - mutta näissä kohdissa on merkintä # E_1 # - Me merkitsemme sen # E_0 # - näin ollen muutos). Täten

# <E> = (1/6 kertaa 1 + 1/3 kertaa 4 + 1/2 kertaa 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Huomautus:

  1. Vaikka yksittäiset energian ominaistoiminnot kehittyvät ajan myötä ottamalla vaihefaktorin, koko aaltofunktio ei eroavat alkuperäisestä vain vaihekertoimella - siksi se ei ole enää kiinteä tila.
  2. Mukana olleet integraalit olivat

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} kertaa int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    ja nämä näyttävät siltä, että ne ovat ajasta riippuvaisia. Ainoat integraalit, jotka selviävät, ovat kuitenkin niitä varten # I = j # - ja nämä ovat juuri niitä, joille aika riippuu.

  3. Viimeiset tulokset sopivat siihen, että #hat {H} # on säilynyt - vaikka tila ei ole kiinteä tila - energian odotusarvo on riippumaton ajasta.
  4. Alkuperäinen aaltofunktio on jo normalisoitu # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # ja tämä normalisointi säilyy ajan kehityksessä.
  5. Olisi voinut leikata paljon työtä, jos olisimme käyttäneet tavanomaista kvanttimekaanista tulosta - jos aaltofunktio laajenee muotoon #psi = sum_n c_n phi_n # missä # Phi_n # ovat Hermitian operaattorin ominaispiirteitä #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #sitten # <hattu {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, edellyttäen, että tietenkin valtiot normalisoidaan oikein.
Laskenta
Toimittajan valinta