Mitä x: n arvoja on f (x) = x-x ^ 2e ^ -x kovera tai kupera?

Vastaus:

Etsi toinen johdannainen ja tarkista sen merkki. Se on kupera, jos se on positiivinen ja kovera, jos se on negatiivinen.

Kovera:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Kupera:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Selitys:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Ensimmäinen johdannainen:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

ottaa # E ^ -x # yhteinen tekijä seuraavan johdannaisen yksinkertaistamiseksi:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Toinen johdannainen:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Nyt meidän on tutkittava merkki. Voimme vaihtaa merkin helposti ratkaistaksesi neliön:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Jotta neliömäinen tuote olisi:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Siksi:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (X- (2 + sqrt (2))) #

• Arvo # X # näiden kahden ratkaisun välillä on negatiivinen neliömerkki, kun taas mikä tahansa muu arvo # X # tekee siitä myönteisen.
• Mikä tahansa arvo # X # merkit # E ^ -x # positiivinen.
• Toiminnon alussa oleva negatiivinen merkki kääntää kaikki merkit.

Siksi, #f '' (x) # on:

Positiivinen, siksi kovera:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatiivinen, joten kupera:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #