Millä aikaväleillä seuraava yhtälö on kovera ylös, kovera alas ja missä sen taivutuspiste on (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Vastaus:

• jos # 0 <x <e ^ (- 15/56) # sitten # F # on kovera alas;
• jos #x> e ^ (- 15/56) # sitten # F # on kovera ylös;
• # X = e ^ (- 15/56) # on (laskeva) taivutuspiste

Selitys:

Analysoidaan kaksinkertaisesti erottuvan funktion koveruus- ja taittopisteet # F #, voimme tutkia toisen johdannaisen positiivisuuden. Itse asiassa, jos # X_0 # on kohta verkkotunnuksessa # F #, sitten:

• jos #f '' (x_0)> 0 #sitten # F # on kovera ylös naapurustossa # X_0 #;
• jos #f '' (x_0) <0 #sitten # F # on kovera alas naapurustossa # X_0 #;
• jos #f '' (x_0) = 0 # ja merkki #f '' # riittävän pienellä oikealla alueella # X_0 # on vastapäätä #f '' # riittävän pienellä vasemmalla alueella # X_0 #sitten # X = x_0 # sitä kutsutaan nimellä taivutuspiste of # F #.

Erityistapauksessa #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, meillä on toiminto, jonka toimialue on rajoitettava positiivisiin realeihin #RR ^ + #.

Ensimmäinen johdannainen on

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Toinen johdannainen on

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Tarkastellaanpa sen positiivisuutta #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Joten, ottaen huomioon, että verkkotunnus on #RR ^ + #, saamme sen

• jos # 0 <x <e ^ (- 15/56) # sitten #f '' (x) <0 # ja # F # on kovera alas;
• jos #x> e ^ (- 15/56) # sitten #f '' (x)> 0 # ja # F # on kovera ylös;
• jos # X = e ^ (- 15/56) # sitten #f '' (x) = 0 #. Ottaen huomioon, että tämä kohta on vasemmalla puolella #f '' # on kielteinen ja oikealla puolella se on positiivinen, me päätämme, että # X = e ^ (- 15/56) # on (laskeva) taivutuspiste