Mitkä ovat f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10: n ääriarvo aikavälillä [-1,3]?

Vastaus:

Meillä on minimit # X = 0 # ja taivutuspiste # X = 3 #

Selitys:

Maksimaali on korkea kohta, johon funktio nousee ja laskee sitten uudelleen. Tangentin kaltevuus tai johdannaisen arvo tällöin on nolla.

Lisäksi, koska tangentit, jotka ovat maksimista vasemmalle, ovat kaltevia ylöspäin, sitten litistyminen ja sitten viisto alaspäin, tangentin kaltevuus vähenee jatkuvasti, toisin sanoen toisen johdannaisen arvo olisi negatiivinen.

Minimit puolestaan on matala kohta, johon funktio laskee ja nousee sitten uudelleen. Tällöin tangentti tai johdannaisen arvo minimillä on myös nolla.

Mutta koska tangentit, jotka ovat vasemmalla puolella minimit, ovat kaltevia alaspäin, sitten litistyminen ja sitten viisto ylöspäin, tangentin kaltevuus kasvaa jatkuvasti tai toisen johdannaisen arvo olisi positiivinen.

Jos toinen johdannainen on nolla, meillä on kohta

Nämä maksimit ja minimit voivat kuitenkin olla joko yleisiä eli korkeimpia tai pienimpiä koko alueelle tai ne voivat olla paikallisia, ts. Maksimit tai minimit rajoitetulla alueella.

Katsokaamme tätä viittaamalla kysymyksessä kuvattuun toimintoon, ja siksi meidän on ensin erotettava toisistaan #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Sen ensimmäinen johdannainen on #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Tämä olisi nolla # X ^ 2-9 = 0 # tai #X = + - 3 # tai #0#. Vain näistä #{0,3}# ovat alueella #-1,3}#.

Näin ollen maksimit tai minimit esiintyvät pisteissä # X = 0 # ja # X = 3 #.

Jos haluat selvittää, onko kyseessä maksimi tai minimit, katsokaamme toista eroa, joka on #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # ja siten samalla

at # X = 0 #, #f '' (x) = 486 # ja on positiivinen

at # X = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # ja on taivutuskohta.

Siksi meillä on paikalliset minimit # X = 0 # ja taivutuspiste # X = 3 #

. kaavio {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Vastaus:

Absoluuttinen minimi on #(-9)^3+10# (joka tapahtuu osoitteessa #0#), väli on absoluuttinen #10#, (joka tapahtuu osoitteessa #3#)

Selitys:

Kysymyksessä ei määritellä, löydetäänkö suhteellinen tai absoluuttinen ääriarvo, joten löydämme molemmat.

Suhteellinen ääriarvo voi esiintyä vain kriittisissä numeroissa. Kriittiset luvut ovat arvoja # X # jotka ovat # F # ja missä #f '(x) = 0 # tai #f '(x) ei ole olemassa. (Fermatin lause)

Absoluuttinen ääriarvo suljetulla aikavälillä voi tapahtua kriittisillä numeroilla aikavälin välein tai pisteissä.

Koska tässä kysytyt toiminnot ovat jatkuvia #-1,3#, Extreme Value Theorem vakuuttaa meille tämän # F # on oltava sekä absoluuttinen minimi- että absoluuttinen maksimiarvo.

Kriittiset numerot ja suhteellinen ääripää.

varten #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, löydämme #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Selvästi, # F '# ei koskaan ole olemassa, joten tällaisia kriittisiä numeroita ei ole.

Ongelmien # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # tuottaa ratkaisuja #-3#, #0#, ja #3#.

#-3# ei ole tämän ongelman alalla #-1,3# joten meidän on vain tarkistettava #F (0) # ja #F (3) #

varten #x <0 #, meillä on #f '(x) <0 # ja

varten #x> 0 #, meillä on #f '(x)> 0 #.

Niinpä ensimmäisellä johdannaistestillä #F (0) # on suhteellinen minimi. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Toinen ajanjakson kriittinen numero on #3#. Jos emme ota huomioon verkkotunnuksen rajoitusta, löydämme sen #f '(x)> 0 # kaikille # X # lähellä #3#. Niinpä toiminto kasvaa pienillä avoimilla aikaväleillä, jotka sisältävät #3#. Siksi jos lopetamme at #3# olemme saavuttaneet korkeimman pisteen verkkotunnuksessa.

On ei yleinen yksimielisyys siitä, sanoiko se #f (3) = 10 # on tämän toiminnon suhteellinen maksimiarvo #-1,3#.

Jotkut vaativat arvoa molemmin puolin vähemmän, toiset edellyttävät, että verkkotunnuksen arvot ovat kummallakin puolella pienempiä.

Absolute Extrema

Absoluuttisen ääriarvon tilanne suljetulla aikavälillä # A, b # on paljon yksinkertaisempi.

Etsi kriittiset numerot suljetussa aikavälissä. Soita # c_1, c_2 # ja niin edelleen.

Laske arvot #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # ja niin edelleen. Suurin arvo on absoluuttinen maixmum aikavälillä ja vähiten arvo on absoluuttinen minimi välein.

Tässä kysymyksessä laskemme #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # ja #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimi on #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # ja

suurin on #f (-3) = 10 #.