Eksponentiaaliluokan funktionaalinen jatkuva fraktio (FCF) määritellään a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Kun asetat a = e = 2,718281828 .., miten osoitat, että e_ (cf) (0,1; 1) = 1,880789470, lähes?

Vastaus:

Katso selitys …

Selitys:

Päästää #t = a_ (cf) (x; b) #

Sitten:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Toisin sanoen, # T # on kiinteä kohta kartoituksesta:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Huomaa, että # T # on kiinteä kohta #F (t) # ei riitä todistamaan sitä #t = a_ (cf) (x; b) #. Voi olla epävakaa ja vakaa kiinteä piste.

Esimerkiksi, #2016^(1/2016)# on kiinteä kohta #x -> x ^ x #, mutta ei ole ratkaisu # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Ei ole ratkaisua).

Tarkastellaan kuitenkin #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1,0 # ja #t = 1.880789470 #

Sitten:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 + +0,5316916199) #

# = E ^ +0,6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Joten tämä arvo on # T # on hyvin lähellä kiinteää pistettä #F_ (a, b, x): #

Todistaaksesi, että se on vakaa, harkitse johdannaista lähellä # T #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Joten löydämme:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2e (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ ~ -0,5316916199 #

Koska tämä on negatiivinen ja absoluuttinen arvo pienempi kuin #1#, kiinteä kohta kohdassa # T # on vakaa.

Huomaa myös, että mikä tahansa ei-nolla-arvo on # S # meillä on:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

Tuo on #F_ (E, 1,0.1) (s) # on tiukasti monotonisesti laskeva.

Siten # T # on ainutlaatuinen vakaa kiinteä piste.

Vastaus:

Sopimuskäyttäytyminen.

Selitys:

Kanssa #a = e # ja #x = x_0 # iterointi seuraa

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # ja myös

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Tarkastellaanpa iterointitoiminnan supistumisen ehtoja.

Molempien puolien vähentäminen

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}})

mutta ensimmäisessä lähentämisessä

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

tai

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} noin -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Tarvitsemme supistusta

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Tämä saavutetaan, jos

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Olettakaamme, #b> 0 # ja #k = 1 # meillä on.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Niin annetaan # X_0 # ja # B # tämä suhde antaa meille mahdollisuuden löytää alkuerotus sopimussuhteisessa käyttäytymisessä.