Miten löydät MacLaurinin kaavan f (x) = sinhx ja käytät sitä arvioidaksesi f (1/2) 0,01?

Vastaus:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Selitys:

Tiedämme määritelmän #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Koska tiedämme Maclaurin-sarjan # E ^ x #, voimme käyttää sitä rakentamaan yhden #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Voimme löytää sarjan # E ^ -x # korvaamalla # X # kanssa # -X #:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Voimme vähentää nämä kaksi toisiltamme löytääksesi # Sinh # määritelmä:

#COLOR (valkoinen) (- e ^ -x.) e ^ x = väri (valkoinen) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#COLOR (valkoinen) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ XE ^ -x = väri (valkoinen) (lllllllll) 2xcolor (valkoinen) (lllllllll) + (2 x ^ 3) / (3!) Väri (valkoinen) (lllllll) + (2 x ^ 5) / (5!) … #

Näemme, että kaikki parilliset termit peruuttavat ja kaikki parittomat termit kaksinkertaistuvat. Voimme edustaa tätä mallia näin:

# e ^ x-e ^ -x = summa_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Voit suorittaa #sinh (x) # sarja, meidän on vain jaettava tämä #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = summa_ (n = 0) ^ oo peruuta2 / (peruuta2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = summa_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Nyt haluamme laskea #f (1/2) # tarkkuudella vähintään #0.01#. Tiedämme tämän Lagrangen virheen yleisen muodon, joka liittyy n. Asteen taylor-polynomiin # X = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # missä # M # on ylempi rajoitus n: n johdannaisella aikavälillä # C # että # X #.

Meidän tapauksessamme laajennus on Maclaurin-sarja # C = 0 # ja # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

-. T #sinh (x) # on joko #sinh (x) # tai #cosh (x) #. Jos tarkastelemme niiden määritelmiä, näemme sen #cosh (x) # on aina suurempi kuin #sinh (x) #, joten meidän pitäisi selvittää # M #sidottu #cosh (x) #

Hyperbolinen kosinitoiminto kasvaa aina, joten suurin intervallin arvo on #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Nyt liitämme sen Lagrange-virhesidokseen:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Me haluamme # | R n (x) | # pienempi kuin #0.01#, joten yritämme # N # arvoja, kunnes pääsemme tähän pisteeseen (mitä vähemmän termejä polynomissa, sitä parempi). Me löydämme sen # N = 3 # on ensimmäinen arvo, joka antaa meille virheen, joka on pienempi kuin #0.01#, joten meidän on käytettävä kolmannen asteen taylor-polynomia.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #