Miten löydät äärettömän geometrisen sarjan 10 (2/3) ^ n summan, kun n = 2?

Vastaus:

Vastaus on myös #40/9# tai #40/3# riippuen kysymyksestä.

Selitys:

No, jos #n = 2 # sitten ei ole summaa, vastaus on vain:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Mutta ehkä kysymys oli tarkoitus pyytää, että ääretön summa otetaan alusta alkaen # N = 2 # siten, että yhtälö on:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

Tässä tapauksessa laskemme sen ensin huomaten, että mitä tahansa geometrisia sarjoja voidaan pitää muodossa:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Tässä tapauksessa sarjassa on #a = 10 # ja #r = 2/3 #.

Huomaa myös, että:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Joten voimme yksinkertaisesti laskea geometrisen sarjan summan # (2/3) ^ n # ja sitten kerro tämä summa #10# saavuttaa tulos. Tämä helpottaa asioita.

Meillä on myös yhtälö:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Näin voimme laskea sarjan summan alkaen # N = 0 #. Mutta haluamme laskea sen # N = 2 #. Jotta voimme tehdä tämän, me yksinkertaisesti vähennämme sen # N = 0 # ja # N = 1 # ehtoja täydestä summasta. Näet yhteenvedon ensimmäiset useat ehdot, että voimme nähdä, että se näyttää:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Näemme, että:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 summa_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#