Vastaus:
Kohta # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) noin (1.26694,1.16437) # on paikallinen vähimmäispiste.
Selitys:
Ensimmäisen asteen osittaiset johdannaiset ovat # (osittainen f) / (osittainen x) = y-3x ^ {- 4} # ja # (osittainen f) / (osittainen y) = x-2y ^ {- 3} #. Näiden molempien asettaminen nollaan järjestelmässä # Y = 3 / x ^ (4) # ja # X = 2 / y ^ {3} #. Ensimmäisen yhtälön tekstitys toiselle antaa # X = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Siitä asti kun #x! = 0 # verkkotunnuksessa # F #, tämä johtaa # X ^ {11} = 27/2 # ja # X = (27/2) ^ {1/11} # jotta # Y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Toisen asteen osittaiset johdannaiset ovat # (osittainen ^ {2} f) / (osittainen x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (osittainen ^ {2} f) / (osittainen y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, ja # (osittainen ^ {2} f) / (osittainen x osittainen y) = (osittainen ^ {2} f) / (osittainen y osittainen x) = 1 #.
Tästä syystä syrjivä on # D = (osittainen ^ {2} f) / (osittainen x ^ {2}) * (osittainen ^ {2} f) / (osittainen y ^ {2}) - ((osittainen ^ {2} f) / (osittainen x osittainen y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Tämä on kriittisessä kohdassa positiivinen.
Koska puhtaat (ei-sekoitetut) toisen asteen osittaiset johdannaiset ovat myös positiivisia, seuraa, että kriittinen kohta on paikallinen minimi.
