Mitkä ovat f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 ääriarvot [-oo, oo]?

Vastaus:

#F (x) # on vähintään # X = 2 #

Selitys:

Ennen kuin jatkat, huomaa, että tämä on ylöspäin suuntautuva paraboli, joten voimme tietää ilman lisälaskelmia, että sillä ei ole enimmäisarvoja, ja yksi vähimmäisarvo sen kärjessä. Neliön täyttäminen osoittaisi meille tämän #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, antamalla huippu ja siten ainoa minimi #x = 2 #. Katsotaanpa, miten tämä tehtäisiin laskulla.

Mikä tahansa ääriarvo esiintyy joko kriittisessä kohdassa tai tietyn aikavälin päätepisteessä. Kuten meidän välitämme # (- oo, oo) # on avoin, voimme jättää päätepisteiden mahdollisuuden huomiotta, ja näin ollen tunnistamme ensin toiminnon kriittiset kohdat eli sen kohdan, jossa funktion johdannainen on #0# tai ei ole olemassa.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Tämän asettaminen on yhtä suuri #0#, löydämme kriittisen pisteen osoitteessa # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Nyt voidaan joko testata, onko kyseessä ekstremum (ja minkä tyyppinen) tarkistamalla joitakin arvoja # F # tai toisen johdannaistestin avulla. Käytetään jälkimmäistä.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Kuten #f '' (2) = 6> 0 #, toinen johdannaistesti kertoo meille #F (x) # on paikallinen minimi klo # X = 2 #

Näin käytät #f '(x) # ja #f '' (x) #, löydämme sen #F (x) # on vähintään # X = 2 #, vastaava tulos, jonka löysimme käyttämällä algebraa.