Mitkä ovat f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y ääriarvot ja satulapisteet?

En löytänyt satulapisteitä, mutta minimi oli:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Jos haluat löytää ääriarvon, ota osittainen johdannainen suhteessa # X # ja # Y # nähdä, voivatko molemmat osittaiset johdannaiset samanaikaisesti olla samoja #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Jos niiden on samanaikaisesti oltava yhtä suuret #0#, ne muodostavat a yhtälöiden järjestelmä:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Tämä lineaarinen yhtälöiden järjestelmä, kun se vähennetään peruutettavaksi # Y #, antaa:

# 3x - 1 = 0 => väri (vihreä) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => väri (vihreä) (y = -2/3) #

Koska yhtälöt olivat lineaarisia, oli vain yksi kriittinen piste, ja näin ollen vain yksi ääriarvo. Toinen johdannainen kertoo meille, onko kyseessä suurin tai pienin.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Nämä toiset osittaiset osuudet ovat sopusoinnussa, joten kaavio on kovera ylöspäin # X # ja # Y # akselit.

Arvo #f (x, y) # kriittisessä kohdassa on (kytkemällä takaisin alkuperäiseen yhtälöön):

#color (vihreä) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = väri (vihreä) (- 1/3) #

Näin ollen meillä on a minimi of #color (sininen) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Nyt rajat johdannaiset tarkista, onko satulapisteitä, jotka voivat olla diagonaalisesti:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Koska nämä molemmat ovat yhtä mieltä myös siitä, että ne ovat vastakkaisia merkkejä, on olemassa ei satulapistettä.

Voimme nähdä, miten tämä kaavio näyttää vain tarkistaakseen: