Mikä on etäisyys (0, 0, 8) ja (9, 2, 0)?

Vastaus:

Etäisyys on #sqrt (149) #

Selitys:

Kahden pisteen välinen etäisyys

# (x_1, y_1, z_1) #

ja

# (x_2, y_2, z_2) #

sisään # RR ^ 3 # (kolme ulottuvuutta) on

# "etäisyys" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Sovellettaessa sitä ongelmaan, saamme etäisyyden #(0, 0, 8)# ja #(9, 2, 0)# kuten

# "etäisyys" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Seuraavassa selitetään, mistä etäisyyskaava tulee, eikä se ole välttämätön edellä mainitun ratkaisun ymmärtämiseksi.

Edellä esitetty etäisyyskaava näyttää epäilyttävän samanlaiselta kuin kaavassa # RR ^ 2 # (kaksi ulottuvuutta):

# "etäisyys" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

joka on peräisin yksinkertaisesta Pythagorea-lauseen soveltamisesta vetämällä oikean kolmion kahden pisteen väliin, joiden jalat ovat t # X # ja # Y # akselit.

Selvää, # RR ^ 3 # versio voidaan johtaa samalla tavalla. Jos käytämme (enintään) 3 riviä yhdistääksesi kaksi pistettä, jotka ovat rinnakkain # X #, # Y #, ja # Z # akseleita, saamme laatikon, jossa on pisteitä vastakkaisina kulmina. Joten, selvitetään, miten lasketaan etäisyys laatikon diagonaalista.

Yritämme selvittää punaisen viivan pituuden #COLOR (punainen) (AD) #

Koska tämä on kolmion hypotenuusu # ABD #, Pythagorean lauseesta:

# (väri (punainen) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (väri (sininen) (BC)) ^ 2 #

# => väri (punainen) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (väri (sininen) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Valitettavasti meillä ei ole pituutta #COLOR (sininen) (BD) # annettuna. Saadaksesi sen, meidän on jälleen sovellettava Pythagorean lause, tällä kertaa kolmio # BCD #.

# (väri (sininen) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Koska tarvitsemme vain neliön #COLOR (sininen) (BD) #, voimme nyt korvata # ("Ii") # osaksi # ("I") #:

#color (punainen) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Lopuksi, jos meillä on # A # at # (x_1, y_1, z_1) # ja # D # at # (x_2, y_2, z_2) #, sitten meillä on pituudet

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Näiden korvaaminen edellä esitetyllä tavalla antaa meille halutun tuloksen.

Ylimääräisenä huomiona, vaikka geometriset todisteet voidaan tehdä vain kolmessa ulottuvuudessa, matemaatikoilla on yleinen etäisyys # RR ^ n # (# N # mitat). Etäisyys

# (x_1, x_2, …, x_n) # ja # (y_1, y_2, …, y_n) # on määritelty

#sqrt (summa_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

joka vastaa kuviota # RR ^ 2 # ja # RR ^ 3 #.