Mitkä ovat esimerkkejä lähentyvästä sarjasta?

Vastaus:

Tässä on kolme merkittävää esimerkkiä …

Selitys:

Geometrinen sarja

Jos #abs (r) <1 # sitten geometrisen sarjan summa #a_n = r ^ n a_0 # on yhteneväinen:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Eksponentti funktio

Sarja määrittelee # E ^ x # on konvergenssi minkä tahansa arvon suhteen # X #:

# e ^ x = summa_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Tämän todistamiseksi jollekin annetulle # X #, päästää # N # on kokonaisluku suurempi kuin #abs (x) #. Sitten #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konvergoituu, koska se on rajallinen summa ja #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergoituu, koska peräkkäisten termien suhteen absoluuttinen arvo on pienempi kuin #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Baselin ongelma

Baselin ongelma, joka esitettiin vuonna 1644 ja jonka Euler ratkaisi vuonna 1734, pyysi positiivisten kokonaislukujen neliösumman summan summan arvoa:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #