Miten löydät raja (ln x) ^ (1 / x) x: n lähestyessä äärettömyyttä?

Vastaus:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Selitys:

Aloitamme melko tavallisella tempulla, kun käsittelemme vaihtelevia eksponentteja. Voimme ottaa jotain luonnollista lokia ja nostaa sen sitten eksponentiaalisen funktion eksponentiksi muuttamatta sen arvoa, koska nämä ovat käänteisiä toimintoja - mutta se antaa meille mahdollisuuden käyttää lokien sääntöjä hyödyllisellä tavalla.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Lokien eksponenttisääntöjen käyttäminen:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Huomaa, että eksponentti vaihtelee # Xrarroo # joten voimme keskittyä siihen ja siirtää eksponentiaalitoiminnon ulkopuolelle:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Jos tarkastellaan luonnollisen lokitoiminnon käyttäytymistä, huomaat, että kun x pyrkii äärettömään, funktion arvo pyrkii myös äärettömään, vaikkakin hyvin hitaasti. Kun otamme #ln (ln (x)) # meillä on loki-funktion sisällä muuttuja, joka pyrkii äärettömään hyvin hitaasti, mikä tarkoittaa, että meillä on kokonaistoiminto, joka pyrkii äärettömään äärimmäisen hitaasti. Alla oleva kaavio on vain enintään # X = 1000 # mutta se osoittaa, että. t #ln (ln (x)) # jopa hitaaseen kasvuun verrattuna #ln (x) #.

Tästä käyttäytymisestä voidaan päätellä # X # sillä on paljon nopeampi asymptoottinen kasvu ja että eksponentin raja on siis nolla. #color (sininen) ("Tämä tarkoittaa, että kokonaisraja = 1.") #

Voimme myös käsitellä tätä asiaa L'hopitalin sääntöllä. Tarvitsemme rajaa määrittelemättömässä muodossa, eli # 0/0 tai oo / oo # joten tarkistamme, että näin on:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Näin on todellakin niin, että raja on:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Erottaa #y = ln (ln (x)) # tunnista, että meillä on #y (u (x)) # ja käytä ketjun sääntöä

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) tarkoittaa (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) tarkoittaa (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

# näin ollen (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Johdannainen # X # on #1#. Rajasta tulee:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Olemme käsitelleet, että molemmat nimittäjän toiminnot pyrkivät äärettömään, joten meillä on

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #