Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta / vääriä? (i) R²: llä on äärettömän monta ei-nollaa, sopivaa vektori-alitilaa. (ii) Jokaisella homogeenisen lineaarisen yhtälön järjestelmällä on ei-nolla ratkaisu.

Vastaus:

# #

# "(i) Totta." #

# "(ii) False." #

Selitys:

# #

# "Todisteet". #

# "(i) Voimme rakentaa tällaisen joukon alitiloja:" #

# "1)" r: ssä r RR: ssä ", anna:" Quad neljäs V_r = (x, r x) RR ^ 2: ssa. #

# "Geometrisesti" V_r "on rivin" RR ^ 2 ", rinteen r.

# "2) Tarkistamme, että nämä alitilat oikeuttavat väitteen (i)." #

# "3) Selvästi:" Kysy, voit tilata, jos olet, joskus "? #

# "4) Tarkista, että:" Qadquad quad V_r "on" RR ^ 2: n oikea alipaikka. #

# "Let:" Kysy u, v V_r: ssä, alfa: ssa, RR: ssä. qquad qquad quad "Varmista, että:" quad alfa u + beta v vr: ssä. #

# u, v Vr: ssä rrrr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "joillekin" x_1, x_2 t

#quad qadquad: # Quad quad alfa u + beta v = alfa (x_1, r x_1) + (x_2, r x_2) #

# #, jotka täyttivät neljännesnumeron, joskus on saatettu, joskus on, jos sinulla on neljännes, joskus on, että neljännesin joukkuekilpailu oli neljännes, joskus: * (x_1, r x_1) + (x_2, r x_2) #

# #, jotka täyttivät neljänneksen, joskus on saatava, joskus, joskus on, joskus, joskus, joskus: *, jos kysytkö, joskus on, jos olet haastanut toisen osan, jos haluat lähettää haun (# x_1, alfa r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

#, jotka täyttivät neljänneksen, joskus on saatettu, joskus on, joskus, joskus: qquad -quad -quad -quad-sivusto: # x_1 + beta x_2, alfa r x_1 + beta r x_2) #

#, jotka täyttivät neljänneksen, joskus on saatettu, joskus on, joskus, joskus: qquad: qquad: qw2: n (beta x_1 + beta x_2, r (x x1 + beta x_2)) #

#, jotka lähettivät neljänneksen, jos haluat lähettää quadin quadin # (x_3, r x_3) "" kanssa "x_3 = alfa x_1 + beta x_2. #

# "Joten:" Kysy quadu, v V_r: ssä, alfa, beta RR: ssä r rrrr quad alfa u + beta v vr: ssä. #

# "Täten:" qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "on" RR ^ 2: n alipaikka. #

# "Jos haluat nähdä, että" V_r "ei ole nolla, huomaa, että:" #

#, jotka täyttivät toisen neljänneksen, joskus (1, r) V_r: ssä, "ja" (1, r) ne (0, 0).

# "Jos haluat nähdä, että" V_r "on oikea, huomaa, että" (1, r + 1)! In V_r: #

# (1, r + 1) V_r rArr ": ssa (rakentamalla" V_r ")" kvadr rddot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qadquad qquad qquad rArr r = r + 1, "selvästi mahdotonta." #

# "Siten:" Qadquad qadquad V_r "on ei-nolla, oikea alitila" RR ^ 2. Kysymys t

# "5) Osoita nyt, että on olemassa lukuisia tällaisia alitiloja" t #

# "Let:" qquad r, s RR: ssä. Qadquad qquad quad "Näytämme:" quad r s a rrrr_r> V_s. #

# "Määritelmä:" qu (1, r) = (1, rdot 1) V_r: ssä; (1, s) = (1, sdot 1) V_s: ssä. #

# "Selvä:" "*" * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * R #

# "Niinpä": "Qadquad qadquad qadquad qquad qr rsr rrrr": lle #

# "Joten jokainen" r "RR: ssä" tuottaa erillisen alipaikan V_r. #

# "Tämä, yhdessä (1), antaa:" #

# "Alitilojen perhe:" r RR: ssä "on ääretön perhe" #

# "ei-nolla, asianmukaiset alitilat" RR ^ 2. Jos sinulla on haastattelu, jos sinulla on useita kertoja

# "(ii) Tämä on todella helppoa. Jos järjestelmä on neliö ja" #

# "järjestelmän kerroinmatriisi inverttikelpoisena, vain" #

# "nolla ratkaisu." #

# "Oletetaan:" Quad quad quad A "on neliö, käänteinen matriisi." #

# "Harkitse homogeenista järjestelmää:" #

# #, jotka täyttävät Qadquadin, # #, jotka lähettivät kyselyn, # # #

# "Näin ollen" A "on kääntyvä:" #

# qquad qadquad qquad qad qad qad qad Qadquad qad q ^ q - A ^ {- 1} cdot 0 x. #

#quad qadquad qadquad: # Qadquad qadquad qad qx = 0. #

#quad qadquad qadquad: # Qadquad qadquad qad qad 0 = 0. #

# "Näin ollen homogeeninen järjestelmä" A x = 0, "ei ole" # "

# "ei-nolla ratkaisu." Jos qquad Qquad Qadquad Qadquad qquad Qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad t

Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta? (1) n> 2: lle ensimmäisen n luonnollisen luvun AM on suurempi kuin n + 1?

Väärä Ensimmäisten n luonnollisten lukujen summa on {n (n + 1)} / 2 - siten, että keskiarvo on (n + 1) / 2, joka on aina pienempi kuin n + 1 (itse asiassa aritmeettinen keskiarvo mikä tahansa määrä AP: n termejä on aina AP: n ensimmäisen ja viimeisen termin keskiarvo, joka tässä tapauksessa on 1 ja n)

Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta / vääriä? 1.Jos σ on tasainen permutaatio, σ ^ 2 = 1.

Väärä Tasainen permutaatio voidaan hajottaa tasaiseksi määräksi siirtymiä. Esimerkiksi ((2, 3)) ja sen jälkeen ((1, 2)) vastaa ((1, 2, 3)). Joten jos sigma = ((1, 2, 3)) sitten sigma ^ 3 = 1, mutta sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1

Miten päätätte, onko seuraavalla lineaarisen yhtälön järjestelmällä yksi ratkaisu, äärettömän monta ratkaisua tai ratkaisua ilman kuvaa?

N-lineaaristen yhtälöiden järjestelmällä, jonka N-tuntemattomat muuttujat eivät sisällä lineaarista riippuvuutta yhtälöiden välillä (toisin sanoen sen determinantti ei ole nolla), on yksi ainoa ratkaisu. Tarkastellaan kahden lineaarisen yhtälön järjestelmää, jossa on kaksi tuntematonta muuttujaa: Ax + By = C Dx + Ey = F Jos pari (A, B) ei ole verrannollinen pariin (D, E) (eli ei ole sellaista numeroa k että D = kA ja E = kB, jotka voidaan tarkistaa ehdolla A * EB * D! = 0), on yksi ainoa ratkaisu: x = (C * EB * F) / (A * EB * D) , y =