Miten päätätte, onko seuraavalla lineaarisen yhtälön järjestelmällä yksi ratkaisu, äärettömän monta ratkaisua tai ratkaisua ilman kuvaa?

Vastaus:

Järjestelmä # N # lineaariset yhtälöt # N # tuntemattomat muuttujat, jotka eivät sisällä lineaarista riippuvuutta yhtälöiden välillä (toisin sanoen sen määräävä tekijä on nolla) on yksi ja ainoa ratkaisu.

Selitys:

Tarkastellaan kahden lineaarisen yhtälön järjestelmää, jossa on kaksi tuntematonta muuttujaa:

# Ax + by = C #

# Dx + Ey = F #

Jos pari # (A, B) # ei ole verrannollinen pariin # (D, E) # (eli ei ole tällaista numeroa # K # että # D = kA # ja # E = kB #, joka voidaan tarkistaa kunnolla # A * E-B * D! = 0 #) on yksi ainoa ratkaisu:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

esimerkki:

# X + y = 3 #

# X-2y = -3 #

Ratkaisu:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Jos pari # (A, B) # on verrannollinen pariin # (D, E) # (mikä tarkoittaa, että on olemassa tällainen numero # K # että # D = kA # ja # E = kB #, joka voidaan tarkistaa kunnolla # A * E-B * D = 0 #), on kaksi tapausta:

a) ääretön määrä ratkaisuja, jos # C # ja # F # ovat oikeassa suhteessa samaan kertoimeen kuin # A # ja # D #, tuo on # F = kC #, missä # K # on sama suhteellisuuskerroin;

esimerkki:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Tässä # K = 2 # kaikille parille: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Toinen yhtälö on vähäpätöinen seuraus ensimmäisestä (vain kertoo ensimmäinen yhtälö #2#) ja siten ei anna mitään lisätietoa tuntemattomista, mikä vähentää yhtälöiden määrää tehokkaasti arvoon 1.

b) ei ole lainkaan ratkaisuja #F! = KC #

esimerkki:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8Y = 5 #

Tässä tapauksessa yhtälöt ovat ristiriidassa keskenään, koska kertomalla ensimmäinen kahdella, johdamme yhtälöstä # 2x + 8Y = 6 #, jolla ei ole yhteistä ratkaisua # 2x + 8Y = 5 # koska näiden kahden yhtälön vasen osa on yhtä suuri, mutta oikeat osat eivät ole.