Tarkastellaan kolmea yhtä suurta ympyrää, joiden säde on r tietyn ympyrän säteellä R kunkin koskettamaan kahta muuta ja annettua ympyrää kuvassa esitetyllä tavalla, sitten varjostetun alueen alue on sama?

Voimme muodostaa ilmaisun varjostetun alueen alueelle näin:

#A_ "varjostettu" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "keskus" #

missä #A_ "center" # on kolmen pienemmän ympyrän välisen pienen osan alue.

Tämän alueen löytämiseksi voimme piirtää kolmion yhdistämällä kolmen pienemmän valkoisen ympyrän keskukset. Koska jokaisella ympyrällä on säde # R #, kolmion kunkin sivun pituus on # 2r # ja kolmio on tasasivuinen, joten niissä on kulmat # 60 ^ O # kukin.

Voimme siis sanoa, että keskialueen kulma on tämän kolmion alue, josta on vähennetty ympyrän kolme sektoria. Kolmion korkeus on yksinkertaisesti #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, joten kolmion alue on # 1/2 * pohja * korkeus = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Kolmen ympyräsegmentin pinta-ala tämän kolmion sisällä on olennaisesti sama alue kuin puolet yhdestä ympyrästä (koska niiden kulmat ovat # 60 ^ O # kukin, tai #1/6# ympyrä, joten voimme päätellä näiden alojen kokonaisalueen # 1/2 pir ^ 2 #.

Lopuksi voimme selvittää keskialueen alueen #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Näin palataan alkuperäiseen lausekkeeseemme, varjostetun alueen alue on

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) pi / 2) #

Vastaus:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Selitys:

Anna valkoisille ympyröille säde # R = 1 #. Keskukset muodostavat sivusuuntaisen kolmion #2#. Jokainen mediaani / korkeus on #sqrt {3} # niin etäisyys pisteestä sentroidiin on # 2/3 sqrt {3} #.

Keskipiste on ison ympyrän keskipiste, joten se on etäisyys ison ympyrän keskipisteen ja pienen ympyrän keskipisteen välillä. Lisätään pieni säde # R = 1 # saada

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Etsimämme alue on ison ympyrän alue, jossa on vähemmän tasasivuinen kolmio ja loput #5/6# jokaisesta pienestä ympyrästä.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - qrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Me skaalataan # R ^ 2 # yleisesti.