Mikä on kolmion, jossa on kulmat, keskipiste (9, 7), (4, 4) ja (8, 6) #?

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Me kutsumme pisteet # A = (4,4) #, # B = (9,7) # ja # C = (8,6) #.

Meidän on löydettävä kaksi yhtälöä, jotka ovat kohtisuorassa kahdelle puolelle ja kulkevat kahden kärjen läpi. Voimme löytää kahden sivun kaltevuuden ja siten kahden kohtisuoran viivan kaltevuuden.

AB: n kaltevuus:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Rinne kohtisuoraan tähän:

#-5/3#

Tämän täytyy kulkea kärjen C läpi, joten linjan yhtälö on:

# Y-6 = -5/3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

BC: n kaltevuus:

#(6-7)/(8-9)=1#

Rinne kohtisuoraan tähän:

#-1#

Tämän täytyy kulkea kärjen A läpi, joten linjan yhtälö on:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

Jos 1 ja 2 leikkaavat, on ortokeskus.

1 ja 2 ratkaiseminen samanaikaisesti:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# 3x + 24 = -5x + 58 #

# 3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Käyttämällä 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Koska kolmio on tylsä, orthocenter on kolmion ulkopuolella. tämä näkyy, jos laajennat korkeuslinjoja, kunnes ne ylittävät.

Vastaus:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumcenter

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Selitys:

orthocenter

tietty # p_1, p_2, p_3 # ja

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # niin että

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Nämä vektorit saadaan helposti, esimerkiksi

# p_1 = (x_1, y_1) # ja # p_2 = (x_2, y_2) # ja sitten

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Nyt meillä on

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Nämä kolme riviä leikkaavat kolmion ortokeskuksessa

Valitsemalla # L_1, L_2 # meillä on

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # tai

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

antaa yhtälöt

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Ratkaise nyt # Lambda_1, lambda_2 # meillä on

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

ja sitten

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumcenter

Kehän yhtälö annetaan arvolla

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

nyt jos # {p_1, p_2, p_3} kohdassa C # meillä on

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

vähentämällä ensimmäinen toisesta

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

vähentämällä ensimmäinen kolmannesta

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

antaa yhtälöiden järjestelmä

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Nyt korvataan annetut arvot

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Liitteenä kuvaaja, jossa näkyy orthocenter (punainen) ja circumcentercenter (sininen).