Miten osoitat (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Tarvitsemme nämä kaksi identiteettiä todistuksen suorittamiseksi:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Aloitan oikealla puolella ja sitten käsitellä sitä, kunnes näyttää vasemmalta puolelta:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (1 + cosx) / 2 #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (1 + cosx) / 2color (punainen) (* sinx / sinx) #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) väri (punainen) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#COLOR (valkoinen) (oikea asteikko) = vasen asteikko #

Se on todiste. Toivottavasti tämä auttoi!

Pyrimme todistamaan henkilöllisyytemme:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Harkitse lausekkeen LHS: ää ja käytä tangentin määritelmää:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# (1 + cosx) / 2 #

Harkitse nyt RHS: ää ja käytä identiteettiä:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Anna meille:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Täten:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) t QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (Peruuta (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #

Miten osoitat (cotx + cscx / sinx + tanx) = (cotx) (cscx)?

Vahvistettu alla (cotx + cscx) / (sinx + tanx) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx + 1 / sinx) / (sinx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1) / sinx) / ((sinxcosx) / cosx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1) / sinx) / ((sinx (cosx + 1)) / cosx) (cotx) (cscx ) (peruuta (cosx + 1) / sinx) * (cosx / (sinxancanc ((cosx + 1)))) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx * 1 / sinx) = (cotx) (cscx) ( cotx) (cscx) = (cotx) (cscx)

Miten osoitat (cosx / (1 + sinx)) + ((1 + sinx) / cosx) = 2secx?

Muunna vasen puoli termeiksi, joilla on yhteinen nimittäjä ja lisää (muuntamalla cos ^ 2 + sin ^ 2 - 1 matkan varrella); yksinkertaistaa ja viitata sec = 1 / cos (cos (x) / (1 + sin (x))) + ((1 + sin (x)) / cos (x)) = (cos ^ 2 (x)) määritelmään + 1 + 2sin (x) + sin ^ 2 (x)) / (cos (x) (1 + sin (x) = (2 + 2sin (x)) / (cos (x) (1 + sin (x) ) = 2 / cos (x) = 2 * 1 / cos (x) = 2 sek (x)

Miten osoitat: secx - cosx = sinx tanx?

Käyttämällä secx- ja tanx-määritelmiä sekä identiteettiä sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1, meillä on secx-cosx = 1 / cosx-cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x ) / cosx = sin ^ 2x / cosx = sinx * sinx / cosx = sinxtanx