Miten osoitat: secx - cosx = sinx tanx?

Käyttämällä määritelmiä # Secx # ja # Tanx #yhdessä identiteetin kanssa

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, meillä on

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2 x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Vastaus:

Muunna kaikki termit ensin # Sinx # ja # Cosx #.

Toiseksi sovelletaan osamääräyksiä LHS: ään.

Lopuksi käytämme Pythagorien identiteettiä: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Selitys:

Ensinnäkin näiden muotojen kysymyksissä on hyvä ajatus muuntaa kaikki termit siniksi ja kosiniksi: niin, korvaa #tan x # kanssa #sin x / cos x #

ja korvata #sec x # kanssa # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # tulee # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # tulee #sin x sin x / cos x # tai # sin ^ 2 x / cos x #.

Nyt käytämme murto-summan sääntöjä LHS: ään, jolloin muodostetaan yhteinen pohja (kuten kuten lukufraktio #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Lopuksi käytämme Pythagorien identiteettiä: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (yksi hyödyllisimmistä identiteeteistä tällaisille ongelmatyypeille).

Järjestämällä sen uudelleen # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Korvataan # 1- cos ^ 2 x # LHS: ssä # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # joka on sama kuin muutettu RHS.

Näin ollen LHS = RHS Q.E.D.

Huomaa, että tämä yleinen malli saada asiat sinusiin ja kosiniin, käyttämällä fraktiosääntöjä ja Pythagorien identiteettiä, ratkaisee usein tällaiset kysymykset.

Jos niin haluamme, voimme myös muokata oikeaa puolta vastaamaan vasenta puolta.

Meidän pitäisi kirjoittaa # Sinxtanx # kannalta # Sinx # ja # Cosx #, käyttäen identiteettiä #COLOR (punainen) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Nyt käytämme Pythagorien identiteettiä, joka on # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Voimme muuttaa tätä ratkaistaksesi # Sin ^ 2 x #, niin: #COLOR (punainen) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Jaa nyt vain lukija:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Käytä vastavuoroista identiteettiä #COLOR (punainen) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Vastaus:

Se on todella yksinkertaista …

Selitys:

Käyttämällä identiteettiä # Tanx = sinx / cosx #, kerro # Sinx # saat identiteetin saadaksesi:

# Secx-cosx = sin ^ 2 x / cosx #

Sitten kerro # Cosx # antamalla yhtälö:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Ottaen huomioon # Secx # on käänteinen # Cosx #.

Lopuksi käyttämällä trigonometristä identiteettiä # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, lopullinen vastaus olisi:

# Sin ^ 2 x = sin ^ 2 x #