Hiukkanen heitetään kolmion yli vaakasuoran pohjan toisesta päästä ja laiduntaa huippu laskee pohjan toiseen päähän. Jos alfa- ja beetakulmat ovat pohjakulmat ja theta on heijastuskulma, Todista, että tan-theta = tan alpha + tan beta?

Koska hiukkaset heitetään heijastuskulma # Theta # yli kolmion # DeltaACB # sen toisesta päästä # A # vaakasuoran pohjan # AB # Kohdistettu X-akselin suuntaan ja se lopulta menee toiseen päähän # B #pohjan, laiduntamalla kärki #C (x, y) #

Päästää # U # olla projisointinopeus, # T # olla lentoaika # R = AB # olla vaakasuora alue ja # T # on aika, jonka hiukkanen saavuttaa C: ssä # (X, y) #

Projektorin nopeuden vaakakomponentti # -> ucostheta #

Projektorin nopeuden pystykomponentti # -> usintheta #

Ottaen huomioon liikkeen painovoiman ilman ilmanvastusta voimme kirjoittaa

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# X = ucosthetat ………………. 2 #

yhdistämällä 1 ja 2 saamme

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2theta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => Väri (sininen) (y / x = tantheta - ((GSEC ^ 2theta) / (2u ^ 2)) x …….. 3) #

Nyt lennon aikana # T # pystysuuntainen siirtymä on nolla

Niin

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Näin ollen horisontaalinen siirtymä lennon aikana eli alue on

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2sin2theta) / g #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2theta)) #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (GSEC ^ 2theta) #

# => Väri (sininen) ((GSEC ^ 2theta) / (2u ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Yhdistämällä 3 ja 4 saamme

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => Y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => Tanalpha = tantheta- (xtantheta) / R # siitä asti kun #COLOR (punainen) (y / x = tanalpha) # kuvasta

Niin # Tantheta = tanalphaxx (R / (R-x)) #

# => Tantheta = tanalphaxx ((R-x + x) / (R x)) #

# => Tantheta = tanalphaxx (1 + x / (R-x)) #

# => Tantheta = tanalpha + (xtanalpha) / (R x) #

# => Tantheta = tanalpha + y / (R x) # laskemisesta #COLOR (punainen) (xtanalpha = y) #

Lopuksi meillä on kuvasta #COLOR (magenta) (y / (R x) = tanbeta) #

Siksi saamme vaaditun suhteen

#COLOR (vihreä) (tantheta = tanalpha + tanbeta) #

Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x 1-3tan ^ 2x Todista se?

Ystävällisesti käy läpi todiste selityksessä. Meillä on tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ............ (timantti). Annetaan x = y = A, saamme tan (A + A) = (tanA + tanA) / (1-tanA * tanA). :. tan2A = (2tanA) / (1-tan ^ 2A) ............ (diamond_1). Otamme nyt (timantti), x = 2A, ja y = A. :. tan (2A + A) = (tan2A + tana) / (1-tan2A * tana). :. tan3A = {(2tanA) / (1-tan ^ 2A) + tanA} / {1- (2tanA) / (1-tan ^ 2A) * tanA}, = {(2tanA + tanA (1-tan ^ 2A)) / (1-tan ^ 2A)} -: {1- (2tan ^ 2A) / (1-tan ^ 2A)}, = (2tanA + tanA-tan ^ 3A) / (1-tan ^ 2A-2tan ^ 2A ). rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) /

Todista se: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) RHS = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - ( 1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS osoitettu

Jos tan alpha = x + 1 & tan bita = x-1 Etsi sitten mikä on 2cot (alpha-bita) =?

Rarr2cot (alfa-beeta) = x ^ 2 Koska tanalpha = x + 1 ja tanbeta = x-1.rarr2cot (alfa-beeta) = 2 / (tan (alfa-beeta)) = 2 / ((tanalfa-tanbeta) / (1 + tanalpha * tanbeta)) = 2 [(1 + tanalpataanibeta) / (tanalpha-tanbeta)] = 2 [(1+ (x + 1) * (x-1)) / ((x + 1) - (x-1))] = 2 [(peruuta (1) + x ^ 2kanssa (-1)) / (peruuta (x) + 1cancel (-x) + 1]] = 2 [x ^ 2/2] = x ^ 2