Mitkä ovat f (x) = 3x-1 / sinx: n ääripäässä [pi / 2, (3pi) / 4]?

Vastaus:

Alueen absoluuttinen minimi esiintyy noin. # (pi / 2, 3.7124) #, ja absoluuttinen maksimiarvo on alueella noin. # (3pi / 4, 5.6544) #. Paikallista äärirajaa ei ole.

Selitys:

Ennen kuin aloitamme, meidän on analysoitava ja katsottava, onko #sin x # ottaa arvon #0# milloin tahansa aikavälillä. #sin x # on nolla kaikille x: lle niin, että #x = npi #. # Pi / 2 # ja # 3pi / 4 # ovat molemmat vähemmän kuin # Pi # ja suurempi kuin # 0pi = 0 #; täten, #sin x # ei ota arvoa nollaan täällä.

Tämän määrittämiseksi muistakaa, että äärimmäinen tapahtuu joko silloin, kun #f '(x) = 0 # (kriittiset kohdat) tai jossakin päätepisteistä. Tämä on mielessä, otamme edellä olevan f (x): n johdannaisen ja löydämme pisteitä, joissa tämä johdannainen on 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Miten meidän pitäisi ratkaista tämä viimeinen termi?

Harkitse lyhyesti vastavuoroinen sääntö, joka kehitettiin käsittelemään viimeisimpiä termejä täällä, # d / (dx) (1 / sin x) #. Vastavuoroinen sääntö sallii meidän ohittaa suoraan ketjun tai osamäärän säännön ilmoittamalla, että sille on annettu eriytettävä toiminto #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

kun #g (x)! = 0 #

Palatessamme tärkeimpään yhtälömme, jätimme pois;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Siitä asti kun #sin (x) # on erilainen, voimme soveltaa vastavuoroista sääntöä täällä:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Kun tämä on 0, saavutamme:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Tämä voi tapahtua vain silloin, kun #cos x / sin ^ 2 x = -3.. Sieltä voi käydä niin, että käytämme yhtä trigonometrisistä määritelmistä # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Tämä muistuttaa polynomia, jossa on #cos x # korvaa perinteinen x. Niinpä julistamme #cos x = u # ja…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Käyttämällä neliökaavaa tässä …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9)) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Meidän juuremme esiintyvät #u = (1 + -sqrt37) / 6 # tämän perusteella. Yksi näistä juurista (# (1 + sqrt37) / 6 #) ei voi olla juuri #cos x # koska juuri on suurempi kuin 1, ja # -1 <= cosx <= 1 # kaikille x: lle. Toisen juuremme laskee sen sijaan noin #-.847127#. Tämä on kuitenkin pienempi kuin minimiarvo #cos x # toiminto voi olla välissä (koska #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #. Täten, verkkotunnuksessa ei ole kriittistä pistettä.

Tämä on mielessä, meidän täytyy palata päätepisteisiin ja laittaa ne alkuperäiseen tehtävään. Näin saadaan #f (pi / 2) n. 3,7124, f (3pi / 4) n. 5,6544 #

Täten absoluuttinen minimimme verkkotunnuksessa on noin # (pi / 2, 3.7124), # ja suurin on noin # (3pi / 4, 5.6544) #