Miten int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx integroitaisiin?

Vastaus:

Tätä integraalia ei ole olemassa.

Selitys:

Siitä asti kun #ln x> 0 # välissä # 1, e #, meillä on

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

täällä, niin että integraali tulee

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

korvike #ln x = u #sitten # dx / x = du # jotta

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Tämä on väärä integraali, koska integraali eroaa alarajalla. Tämä määritellään

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

jos se on olemassa. Nyt

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

koska se eroaa rajasta #l -> 0 ^ + #, integraalia ei ole olemassa.

Vastaus:

# Pi / 2 #

Selitys:

Integraali # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Korvaa ensin # U = ln (x) # ja # "D" u = ("d" x) / x #.

Näin meillä on

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Vaihda nyt # U = sin (v) # ja # "D" u = cos (v) "d" v #.

Sitten, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # siitä asti kun # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Jatkamme, meillä on

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #