Miten määrität, onko väärä integraali konvergoituu tai eroaa int 1 / [sqrt x]: sta 0: sta äärettömään?

Vastaus:

Integraali erottuu.

Selitys:

Voimme käyttää vertailutestiä epäasianmukaisiin integraaleihin, mutta tässä tapauksessa integraali on niin helppo arvioida, että voimme vain laskea sen ja nähdä, onko arvo rajoitettu.

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

Tämä tarkoittaa, että integraali erottuu.

Miten lähentymisen määritelmän avulla osoitat, että sekvenssi {5+ (1 / n)} konvergoituu n = 1: stä äärettömään?

Olkoon: a_n = 5 + 1 / n minkä tahansa m, n: n NN: ssä n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m-1 / n) n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n ja 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Mikä tahansa todellinen luku epsilon> 0, valitse sitten kokonaisluku N> 1 / epsilon. Millä tahansa kokonaislukuilla m, n> N meillä on: abs (a_m-a) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, joka osoittaa Cauchyn ehton sekvenssin konvergenssille.

Miten todistat, että sekvenssi {2 ^ -n} konvergoituu n = 1: stä äärettömään käyttämällä lähentymisen määritelmää?

Käytä eksponentiaalitoiminnon ominaisuuksia N: n määrittämiseen, kuten | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon jokaiselle m, n> N: lle Konvergenssin määritelmä osoittaa, että {a_n} konvergoituu, jos: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Joten, kun epsilon> 0 ottaa N> log_2 (1 / epsilon) ja m, n> N m: llä m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 niin | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nyt kun 2 ^ x on aina positiivinen, (1- 2 ^ (mn)) <1, joten

Miten määrität, missä funktio kasvaa tai pienenee, ja määritä, missä f (x) = (x - 1) / x: n suhteelliset maksimit ja minimit esiintyvät?

Tarvitset sen johdannaisen tietääksesi sen. Jos haluamme tietää kaiken f: stä, tarvitsemme f '. Tässä f '(x) = (x-x + 1) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2. Tämä toiminto on aina ehdottomasti positiivinen RR: lle ilman 0: ta, joten funktio kasvaa tiukasti] -oo, 0 [ja kasvaa tiukasti] 0, + oo [. Siinä on minimi on] -oo, 0 [, se on 1 (vaikka se ei saavuta tätä arvoa) ja sillä on maksimiarvo] 0, + oo [, se on myös 1.