Erota ensimmäisestä periaatteesta x ^ 2sin (x)?

Vastaus:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # johdannaisen määritelmästä ja ottaa joitakin rajoituksia.

Selitys:

Päästää #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Sitten

# (df) / dx = lim_ {h - 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h - 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h - 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h - 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h - 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

trigonometrinen identiteetti ja joitakin yksinkertaistuksia. Näillä neljällä viimeisellä rivillä meillä on neljä ehtoa.

Ensimmäinen termi on 0, koska

#lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h - 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, joka voidaan nähdä esim. Taylorin laajentumisesta tai L'Hospitalin sääntöstä.

Neljäs termi myös katoaa, koska

#lim_ {h - 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h - 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Nyt toinen termi yksinkertaistaa

# lim_ {h - 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h = 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, siitä asti kun

#lim_ {h> 0} (sin (h)) / h = 1 #, kuten tässä on esitetty, tai esim. L'Hospitalin sääntö (katso alla).

kolmannella kaudella yksinkertaistaa

# lim_ {h - 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h - 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

joka sen jälkeen lisätään toiseen termiin antaa sen

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Huomautus: L'Hospitalin säännön mukaan # {{{0}} sin (h) = 0 # ja # _ _ {h> 0} h = 0 # ja molemmat toiminnot ovat erilaiset # H = 0 #, meillä on se

# {{{0} 0} sin (h) / h = lim_ {h = 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = h - 0} cos (h) = 1 #.

Raja # lim_ {h - 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # voidaan näyttää samalla tavalla.