Todista, että käyrät x = y ^ 2 ja xy = k leikataan suorassa kulmassa, jos 8k ^ 2 = 1?

Vastaus:

#-1#

Selitys:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

nämä kaksi käyrää ovat

#x = y ^ 2 #

ja

#x = sqrt (1/8) / y tai x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

käyrälle #x = y ^ 2 #, johdannainen suhteessa # Y # on # 2v #.

käyrälle #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, johdannainen suhteessa # Y # on # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

kohta, jossa kaksi käyrää kohtaavat, milloin # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

siitä asti kun #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

kohta, jossa käyrät kohtaavat # (1/2, sqrt (1/2)) #

kun #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

käyrän tangentin kaltevuus #x = y ^ 2 # on # 2sqrt (1/2) tai 2 / (sqrt2) #.

kun #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

käyrän tangentin kaltevuus #xy = sqrt (1/8) # on # -2sqrt (1/8) tai -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Etsimme ehtoa # K # siten, että käyrät # X = y ^ 2 # ja # Xy = k # "leikattu oikeassa kulmassa". Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että käyrien tulisi olla ortogonaalisia, mikä puolestaan tarkoittaa, että käyrien tangentit kohdistuivat joka tapauksessa minkä tahansa annetut pisteet ovat kohtisuorassa.

Jos tarkastelemme käyrien perhettä erilaisille arvoille # K # saamme:

Havaitsemme välittömästi, että etsimme yhtä pistettä, jossa tangentti on kohtisuorassa, joten yleensä käyrät eivät ole kohtisuorassa kaikissa pisteissä.

Anna ensin löytää yksittäinen koordinoi # P #, risteyskohdasta, joka on samanaikainen ratkaisu:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Eq A: n korvaaminen arvoksi B:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = juuri (3) (k) #

Ja näin ollen muodostamme risteyskoordinaatin:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Tarvitsemme myös tämän koordinaatin tangenttien kaltevuudet. Ensimmäinen käyrä:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Niinpä tangentin kaltevuus, # M_1 #, ensimmäiseen käyrään # P # on:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Samoin toisen käyrän osalta:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Niinpä tangentin kaltevuus, # M_2 #, toiseen käyrään # P # on:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Jos nämä kaksi tangenttia ovat kohtisuorassa, vaadimme, että:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Tuloksena annettuun tulokseen:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

Ja tämä arvo on # K #