Mitkä ovat f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2: n paikalliset maksimit ja minimit?

Vastaus:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Tällä toiminnolla on pystysuora asymptoote # X = 2 #, lähestyy #1# ylhäältä kuin x menee # + oo # (horisontaalinen asymptoosi) ja lähestymistavat #1# alhaalta kuin x menee # -oo #. Kaikki johdannaiset ovat määrittelemättömiä # X = 2 # yhtä hyvin. Paikalla on yksi paikallinen minimi # X = 0 #, # Y = 0 # (Kaikki, mikä vaikeuttaa alkuperää!)

Huomaa, että haluat ehkä tarkistaa matematiikkani, jopa parasta meistä pudottaa pariton negatiivinen merkki ja tämä on pitkä kysymys.

Selitys:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Tällä toiminnolla on pystysuora asymptoote # X = 2 #, koska nimittäjä on nolla, kun # X = 2 #.

Se lähestyy #1# ylhäältä kuin x menee # + oo # (horisontaalinen asymptoosi) ja lähestymistavat #1# alhaalta kuin x menee # -oo #, koska suuria arvoja # X ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # kanssa # X ^ 2> (x-2) ^ 2 # varten #X> 0 # ja # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # varten #X <0 #.

Maksimi / min löytämiseksi tarvitaan ensimmäinen ja toinen johdannainen.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Käytä osuussääntöä!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Käytösääntöjen käyttäminen ja saamamme ketjun säännöt:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Me nyt siistimme hieman …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Nyt toinen johdannainen, tehty kuten ensimmäinen.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Se on ruma, mutta meidän täytyy vain kytkeä ja huomata, missä se on huonosti käyttäytynyt.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Tämä toiminto on määrittelemätön # X = 2 #, se asymptootti, mutta näyttää hyvältä kaikkialla muualla.

Haluamme tietää, olivatko max / min …

asetamme # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # tämä on nolla, kun lukija on nolla ja jos nimittäjä ei ole.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # tai # 4x (2-x) = 0 # Tämä on nolla # X = 0 # ja # X = 2 #, mutta emme voi olla max / min, kun johdannainen / toiminto on määrittelemätön, joten ainoa mahdollisuus on # X = 0 #.

"toinen johdannaistesti"

Nyt katsomme toista johdannaista, ruma, koska se on …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Kuten funktio ja ensimmäinen johdannainen, tämä on määrittelemätön # X = 2 #, mutta näyttää hyvältä kaikkialla muualla.

Me liitämme # X = 0 # osaksi # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, ei ole nolla niin ihastuttava numero, jotta voit liittää sen?

#=128/256# kaikki tämä #1/2#

#1/2 >0# niin # X = 0 # on paikalliset minimit.

Jotta voisit löytää y-arvon, sinun on liitettävä se toimintoon.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Alkuperä!