Jos a ^ 3 + b ^ 3 = 8 ja a ^ 2 + b ^ 2 = 4, mikä on arvo (a + b)?

Vastaus:

Summaa varten on kaksi mahdollista arvoa, # A + b = 2 # (varten # A = 2 # ja # B = 0 #) tai # A + b = -4 # (varten # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}).

Selitys:

On todella kaksi tuntematonta, summa ja tuote # A # ja # B, # joten anna #x = a + b # ja #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Kaksi yhtälöä kahdessa tuntemattomassa, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Tätä kutsutaan masentuneeksi kuutioksi, ja niillä on melko helppo suljettu muoto ratkaisu, kuten neliökaava. Mutta sen sijaan, että koskettaisimme sitä, oletetaan vain arvata juuri sen ajan kunnioitettu menetelmä, jolla yrität pientä numeroa. Me näemme # X = 2 # toimii niin # (X-2) # on tekijä.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Voimme nyt lisätä tekijää

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Joten summaa varten on kaksi mahdollista arvoa, # A + b = 2 # ja # A + b = -4. #

Ensimmäinen vastaus vastaa todellista ratkaisua # a = 2, b = 0 # ja symmetrisesti # a = 0, b = 2 #. Toinen vastaus vastaa monimutkaisten konjugaattien parin summaa. He ovat # a, b = -2 i sqrt {2} #. Voitko tarkistaa tämän ratkaisun?

Vastaus:

# (a + b) = 2, tai a + b = -4 #

Selitys:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => Ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Nyt,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ab) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Päästää,

# (A + b) = x #

Niin, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Huomaa, että #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # on tekijä.

Nyt, # X ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ui (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = X ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (X-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, tai, x = -4 #.

#:. a + b = 2, tai a + b = -4 #.

Kaavio on täällä.

Arvo #color (punainen) ((a + b) = 2, tai -4. #

Toivottavasti se auttaa…

Kiitos…