Olkoon x, y, z kolme todellista ja erillistä numeroa, jotka täyttävät yhtälön 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, minkä jälkeen seuraavat vaihtoehdot ovat oikein ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z ovat A.P: ssä

Vastaus:

Vastaus on (a).

Selitys:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 # voidaan kirjoittaa

# 32x ^ 2 + 8Y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

tai # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

toisin sanoen # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

jos # A = 4x #, # B = 2v # ja # C = Z #, niin tämä on

# ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

tai # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca = 0 #

tai # (A ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

tai # (A-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Nyt, jos kolmen neliön summa on #0#Niiden on oltava nolla.

Siten # A-b = 0 #, # B-c = 0 # ja # C-a = 0 #

toisin sanoen # A = b = c # ja meidän tapauksessamme # 4x = 2y = z = k # sanoa

sitten # X = k / 4 #, # Y = k / 2 # ja # Z = k #

toisin sanoen # X, y # ja # Z # ovat G.P: ssä ja # X / y = 2/4 = 1/2 #

# Y / z = 1/2 # ja näin ollen vastaus on (a).

# X, y, z # ovat kolme todellista ja erillistä numeroa, jotka vastaavat yhtälöä

tietty

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8Y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2v * z = 0 #

# => (4x-2v) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Kolmen neliön todellisen määrän ollessa nolla kukin niistä on nolla.

Siten # 4x-2v = 0-> X / Y = 2/4 = 1 / 2to #Vaihtoehto (a)

# 4x-z = 0 => 4x = Z #

ja

# 2y-z = 0 => 2y = Z #