Todista, että violetti varjostettu alue on yhtä suuri kuin tasasivuisen kolmion (keltainen raidallinen ympyrä) ympäröivän alueen?

Vastaus:

Selitys:

Ympyrän alue on # Pir ^ 2 #.

Huomaa oikea kolmiota hypotenusella # R # ja jalka # R # tasasivuisen kolmion pohjassa, trigonometrian tai sen ominaisuuksien kautta #30 -60 -90 # oikeat kolmiot voimme vahvistaa suhdetta # R = 2r #.

Huomaa, että vastakkainen kulma # R # on #30 # koska tasasivuinen kolmio on #60 # kulma puolitettiin.

Tämä sama kolmio voidaan ratkaista Pythagorean lauseen avulla osoittamaan, että puolet sivupituudesta tasasivuisesta kolmiosta on #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Nyt tutkitaan puolet tasasivuisesta kolmiosta oikeana kolmiona, ja näemme, että korkeus # H # tasasivuisen kolmion muoto voidaan ratkaista # R # käyttäen suhdetta #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Siitä asti kun #tan (60) = sqrt3 #, tämä tulee # H / (rsqrt3) = sqrt3 # niin # H = 3r #.

Tasasivuisen kolmion alue on sitten # 1 / 2BH #, ja sen pohja on # 2rsqrt3 # ja sen korkeus # 3r #. Näin ollen sen alue on # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Pienemmän varjostetun alueen pinta-ala on yhtä kolmasosaa tasasivuisen kolmion pinta-alasta miinus ympärysmitta, tai # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # joka vastaa # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Suuremman ympyrän alue on # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Suuremman varjostetun alueen alue on yksi kolmasosa suuremman ympyrän alueesta miinus tasasivuisen kolmion pinta-ala tai # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # joka yksinkertaistaa # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Varjostetun alueen kokonaispinta-ala on sitten # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, joka vastaa incirclen aluetta.

Vastaus:

Selitys:

Tasasivuinen kolmio painopiste, ympyrän ympyrän keskipiste ja ortokeskus ovat samat.

Niinpä cicumcirclen säde (R) ja incirclen (r) säde ovat seuraavassa suhteessa

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Nyt kuvasta on ilmeistä, että BIG-purppuranvärinen alue# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) #

Ja SMALL-purppuranvärinen alue# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

missä #Delta # edustaa tasasivuisen kolmion aluetta.

Niin

#color (violetti) ("BIG- ja SMALL-purppuranvärisen alueen TOTAL-alue" #

# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Lisätään R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> väri (oranssi) "Keltaisen raidallisen ympyrän alue" #

Kolme ympyrää säteen r yksikköä piirretään sivupinnan tasasivuisen kolmion sisään siten, että kukin ympyrä koskettaa kolmea muuta ympyrää ja kolmion kaksi puolta. Mikä on r: n ja a: n välinen suhde?

R / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1) Tiedämme, että a = 2x + 2r, r / x = tan (30 ^ @) x on vasemman alareunan ja pystysuoran projektiopisteen välinen etäisyys vasemman alareunan keskipiste, koska jos tasasivuinen kolmio on kulmassa 60 ^ @, bisektorilla on 30 ^ @ ja sitten a = 2r (1 / tan (30 ^ @) + 1), joten r / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1)

Kaksi ympyrää, joiden säde on yhtä suuri kuin r_1 ja jotka koskettavat viivaa, joka on saman puolen l, ovat etäisyydellä x toisistaan. Kolmas ympyrä, jonka säde on r_2, koskettaa kahta ympyrää. Miten löydämme kolmannen ympyrän korkeuden l: stä?

Katso alempaa. Oletetaan, että x on etäisyys välimerkkien välillä ja oletetaan, että 2 (r_1 + r_2) gt x + 2r_1 meillä on h = sqrt ((r_1 + r_2) ^ 2- (r_1 + x / 2) ^ 2) + r_1-r_2 h on etäisyys l: n ja C_2: n kehän välillä

Tarkastellaan kolmea yhtä suurta ympyrää, joiden säde on r tietyn ympyrän säteellä R kunkin koskettamaan kahta muuta ja annettua ympyrää kuvassa esitetyllä tavalla, sitten varjostetun alueen alue on sama?

Voimme muodostaa ilmaisun varjostetun alueen alueelle: A_ "varjostettu" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "keskus", jossa A_ "keskus" on pienen osan välinen alue kolmen pienemmät ympyrät. Tämän alueen löytämiseksi voimme piirtää kolmion yhdistämällä kolmen pienemmän valkoisen ympyrän keskukset. Koska jokaisella ympyrällä on r: n säde, kolmion kunkin sivun pituus on 2r ja kolmio on samansuuntainen niin, että kullakin on kulmat 60 ^ o. Voimme siis sanoa, että keskialueen kulma on tämän kolmion alue