Miten jaat (i + 8) / (3i -1) trigonometrisessä muodossa?

# (I + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Ensinnäkin meidän on muutettava nämä kaksi numeroa trigonometrisiin muotoihin.

Jos # (A + ib) # on monimutkainen numero, # U # on sen suuruus ja # Alpha # on sen kulma sitten # (A + ib) # trigonometrisessä muodossa kirjoitetaan #U (cosalpha + isinalpha) #.

Monimutkaisen numeron suuruus # (A + ib) # on antanut#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ja sen kulma on # Tan ^ -1 (b / a) #

Päästää # R # olla suuruusluokkaa # (8 + i) # ja # Theta # olla sen kulma.

Suuruusluokka # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Kulma # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Päästää # S # olla suuruusluokkaa # (- 1 + 3i) # ja # Phi # olla sen kulma.

Suuruusluokka # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Kulma # (- 1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = Phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Nyt,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (R (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = R / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = R / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = R / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = R / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = R / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Täällä meillä on kaikki asia, mutta jos tässä korvaa suoraan arvot, sana olisi sotkuinen löytää #theta -phi # niin selvitetään ensin # Theta-phi #.

# Theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Tiedämme sen:

# Tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((ab) / (1 + ab)) #

#nimittää tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3))) #

# = Tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#viittaa theta-fi = tan ^ -1 (5) #

# R / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = Sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = Sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = Sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

Tämä on lopullinen vastaus.

Voit tehdä sen myös muulla menetelmällä.

Jakamalla ensin kompleksiluvut ja muuttamalla ne sitten trigonometriseen muotoon, joka on paljon helpompaa kuin tämä.

Ensinnäkin yksinkertaistetaan annettua numeroa

# (I + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Kerro ja jaa nimittäjässä olevan kompleksiluvun konjugaatilla, so # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Päästää # T # olla suuruusluokkaa # (1 / 10- (5i) / 2) # ja #beeta# olla sen kulma.

Suuruusluokka # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Kulma # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = beeta #

# viittaa (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

# tarkoittaa (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.