Voiko joku todistaa tämän?

Vastaus:

Käytä sinistä lakia kolmioihin ja joitakin yksinkertaisia trigonometrisiä identiteettejä.

Selitys:

Kolmensien sinistä lakia

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

voimme helposti nähdä sen

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 = {sin ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + sin C)} / {sin ^ 2A} = {2 sin ({BC} / 2) cos ({B + C} / 2) kertaa 2 sin ({B + C} / 2) cos ({BC} / 2)} / sin ^ 2A = {sin (BC) sin (B + C)} / sin ^ 2A = {sin (BC) sin (pi-A)} / sin ^ 2A = sin (BC) / sinA #

Jotta

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 kertaa sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

Kaksi muuta termiä voidaan saada tästä yksinkertaisesti syklisesti permutoimalla # A #, # B # ja # C #. Kolmen sanamuodon lisääminen johtaa todistukseen triviaalisesti.

Vastaus:

Katso alla.

Selitys:

Ensimmäinen. T # LHS = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ 2A-sin ^ 2B) / (4R ^ 2 * sin ^ 2A) * sin2A #

# = (Sin (B + C) sin (B-C)) / sin ^ 2A * sin2A #

# = (SinAsin (B-C)) / (sina * sina) * 2sinA * cosa #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = Sin (A + B-C) sin (A-B + C) #

# = Sin (pi-2C) sin (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Samoin Toinen termi# = Sin2A-sin2B # ja

Kolmas termi# = Sin2B-sin2A #

Koko # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Ota huomioon, että # Sin ^ 2A-sin ^ 2B = sin (A + B) * sin (A-B) #

Vastaus:

Ystävällisesti katso Selitys.

Selitys:

Edellytykset: Tavallisessa merkinnässä # DeltaABC, #

Sine-sääntö: # a / sinA = 2R, tai sinA = a / (2R) #.

Cosine-sääntö: # Cosa = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc) #.

Meillä on, # (B ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (B ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * {2 * a / (2R) * (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc)} #,

# = {(B ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2)} / (RABC-) #, # = {(B ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (RABC-) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ 4-c ^ 4) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (RABC-) #.

Samankaltaisten ilmaisujen saaminen jäljellä olevista jäljellä olevista ehdoista

jäsen ja lisäämällä ne, tulos seuraa.