Auttakaa minua tässä, miten se tehdään?

Vastaus:

#k = 3 #

Selitys:

Käyttämällä eksponenttien ominaisuuksia # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # ja # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, meillä on

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Täten #13!# on jaollinen # 24 ^ k # jos ja vain jos #13!# on jaollinen # 2 ^ (3k) # ja on jaollinen # 3 ^ k #.

Voimme kertoa suurimman voiman #2# jonka mukaan #13!# on jaollinen, jos tarkastelemme sen tekijöitä, jotka ovat jaettavissa #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Koska yksikään pariton tekijöistä ei aiheuta mitään tekijöitä #2#, meillä on

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

missä # M # on jokin kokonaisluku, joka ei ole jaollinen #2#. Siten tiedämme sen #13!# on jaollinen # 2 ^ (3k) # jos ja vain jos #2^10# on jaollinen # 2 ^ (3k) #, merkitys # 3k <= 10 #. Kuten # K # on kokonaisluku, tämä tarkoittaa #k <= 3 #.

Seuraavaksi voimme tarkastella, mitkä tekijät ovat #13!# ovat jaettavissa #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Koska muita tekijöitä #13!# osallistua kaikkiin tekijöihin #3#, Tämä tarkoittaa

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

missä # N # on jokin kokonaisluku, joka ei ole jaollinen #3#. Siten tiedämme sen #3^5# on jaollinen # 3 ^ k #, merkitys #k <= 5 #.

Suurin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka täyttää rajoitukset #K <= 3 # ja #K <= 5 # on #3#, antaa meille vastauksen # K = 3 #.

Laskin tarkistaa sen #(13!)/24^3 = 450450#, kun taas #(13!)/24^4=18768.75#