Vastaus:
# -Xe ^ (2 x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Selitys:
Aloita käyttämällä integraalien summaussääntöä ja jakamalla ne kahteen erilliseen integraaliin:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2DX #
Ensimmäinen näistä mini-integraaleista ratkaistaan integroimalla osien avulla:
Päästää # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# Dv = e ^ (2 x) DX-> intdv = inte ^ (2 x) DX-> v = -e ^ (2-x) #
Käytä nyt integrointia osakaavan avulla # Intudv = uv-intvdu #, meillä on:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - XE ^ (2-x) + inte ^ (2 x) dx #
# = - XE ^ (2 x) -e ^ (2-x) #
Toinen niistä on käänteisen tehon sääntö, jossa todetaan seuraavaa:
# Intx ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Niin # Int3x ^ 2DX = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Siksi, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -Xe ^ (2 x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (muista lisätä integraation vakio!)
Meille annetaan alkutilanne #f (0) = 1 #, niin:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Lopullisen ratkaisun tekeminen saamme lopullisen ratkaisumme:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -Xe ^ (2 x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
