Etsi varjostetun alueen alue?

Vastaus:

Katso alla.

Selitys:

Kun opimme ensin etsimään alueita integroimalla, otamme edustavia suorakulmioita pystysuoraan.

Suorakulmioissa on pohja # Dx # (pieni muutos # X #) ja korkeudet ovat suuremmat kuin suurempi # Y # (yksi ylemmässä käyrässä) miinus pienempi # Y # arvo (alemmassa käyrässä oleva arvo). Sitten integroimme pienimmistä # X # arvo on suurin # X # arvo.

Tätä uutta ongelmaa varten voisimme käyttää kahta tällaista intergralsia (katso vastauksen Jim S), mutta on erittäin arvokasta oppia kääntämään ajatteluamme #90^@#.

Otamme edustavia suorakulmioita horiontally.

Suorakulmioissa on korkeus # Dy # (pieni muutos # Y #) ja emäkset ovat suuremmat kuin suuremmat # X # (yksi oikealla käyrällä) miinus pienempi # X # (vasemmanpuoleisessa käyrässä oleva arvo). Sitten integroimme pienimmistä # Y # arvo on suurin # Y # arvo.

Huomaa kaksinaisuus

# {:("vertikaalinen", "iff", "horisontaalinen"), (dx, iff, dy), ("ylempi", "iff", "oikeanpuoleisin"), ("alempi", "iff", "vasemmalla"), (x, iff, y):} #

Ilmaisu "pienimmältä # X # arvo on suurin # X # arvo ilmaisee, että integroimme vasemmalle oikealle # X # arvot.)

Ilmaisu "pienimmältä # Y # arvo on suurin # Y # -arvo. "osoittaa, että integroimme alhaalta ylöspäin # Y # arvot.)

Tässä on kuva alueesta, jossa on pieni suorakaide:

Alue on

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Vastaus:

Varjostetun alueen alue on # 1m ^ 2 #

Selitys:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (näemme kaaviosta)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (näemme myös kaaviosta)

Yksi monista tavoista, joilla varjostetun alueen alue voidaan ilmaista, voisi olla kolmion alue # AhatOB = Ω # lukuun ottamatta syaani-aluetta, jota kutsun #COLOR (syaani) (Ω_3) #

Päästää #Ω_1# on graafinen ja musta kuvaaja #COLOR (vihreä) (Ω_2) # kuvassa näkyvä vihreä alue.

Pienen kolmion alue # ChatAD = # #COLOR (vihreä) (Ω_2) # tulee olemaan:

• #COLOR (vihreä) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

Alueen alue #Ω_1# tulee olemaan:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Tämän seurauksena varjostettu alue on

• #Ω_1## + Väri (vihreä) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #