Kaksi tasakylkisen kolmion kulmaa ovat kohdassa (8, 3) ja (5, 4). Jos kolmion alue on 4, mitkä ovat kolmion sivujen pituudet?

Vastaus:

Sivujen pituus on #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # ja pisteet ovat # (8,3), (5,4) ja (6,1) #

Selitys:

Anna kolmion pisteiden olla # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3).

Kolmion alue on A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

tietty # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

Korvaamalla meillä on alla oleva alueyhtälö:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> Yhtälö 1

Pisteiden välinen etäisyys #(8,3), (5,4)# käyttäen etäisyyskaavaa

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Pisteiden välinen etäisyys # (x_3, y_3), (5,4) # käyttäen etäisyyskaavaa

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Kummankin puolen squaring ja jakaminen # x_3 = 9 - 3y_3 # yhtälöstä 1 saamme neliöyhtälön.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

Tämän tekeminen saadaan # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 tai y = 2.2. y = 2,2 voidaan hylätä. Kolmannen kohdan on siis oltava (6,1).

Laskemalla pisteiden etäisyydet # (8,3), (5,4) ja (6,1) #, saamme # sqrt 8 # pohjan pituudesta.