Todista, että Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

Todista, että Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?
Anonim

sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2)

sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2)

Oikea puoli:

cot x (sin 5x - sin 3x) = pinnasänky x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2)

= cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x

Vasen puoli:

cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = pinnasänky (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2)

= {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x

He ovat yhtäläisiä quad sqrt

Vastaus:

Tekijän kaava (Sum-to-Product ja Product-Sum -identiteetit)

Selitys:

Tähän kysymykseen voimme käyttää Sum-tuote- ja Tuote-to-Sum identiteettejä.

Olen laiska, joten tässä on kuva identiteeteistä.

Yllä oleva tuote-summa-kaava voidaan johtaa yhdisteenkulma-identiteettien avulla.

Korvauksen käyttäminen alpha = a + b ja beta = a - b , voimme saada seuraavat tuotteen-summan kaavat.

Joten nyt, kun olemme saaneet sen selville, otamme käyttöön kaavat.

cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = pinnasänky (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = pinnasänky (x) (sin (5x) - sin (3x))

Vaihtoehtoisesti voit myös soveltaa summattu-kaavaa oikealla puolella:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

QED