Oletetaan, että RR ^ 4: n alitilaa W varten oli perustana ja tietty määrä mittoja. Miksi mittojen 2 määrä on?

Vastaus:

4 mittaa miinus 2 rajoitusta = 2 mittaa

Selitys:

Kolmas ja neljäs koordinaatti ovat ainoat itsenäiset. Kaksi ensimmäistä voidaan ilmaista kahdella viimeisellä.

Vastaus:

Avaruusalueen ulottuvuudesta päättää sen perusta, eikä mikään vektoritilan ulottuvuus.

Selitys:

Vektoritilan ulottuvuus määritellään vektorien lukumäärällä kyseisen tilan perusteella (äärettömän ulottuvuuden tiloissa se määritellään perustan kardinaalisuudella). Huomaa, että tämä määritelmä on johdonmukainen, koska voimme todistaa, että millä tahansa vektoritilan pohjalla on sama määrä vektoreita kuin mikään muu perusta.

Siinä tapauksessa että # RR ^ n # tiedämme sen #dim (RR ^ n) = n # kuten

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

on perustana # RR ^ n # ja on # N # elementtejä.

Siinä tapauksessa että #W = s, t RR: ssä voimme kirjoittaa minkä tahansa elementin sisään # W # kuten #svec (u) + tvec (v) # missä #vec (u) = (4,1,0,1) # ja #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Tästä meillä on se # {vec (u), vec (v)} # on asetettu # W #. Koska #vec (u) # ja #vec (v) # eivät selvästikään ole skalaarisia kerrannaisia toisistaan (huomaa. t #0#s), se tarkoittaa sitä # {vec (u), vec (v)} # on lineaarisesti riippumaton ulostulo, joka on asetettu # W #, eli perusta. Koska # W # sillä on perusta #2# Me sanomme sen #dim (W) = 2 #.

Huomaa, että vektoritilan ulottuvuus ei ole riippuvainen siitä, voivatko sen vektorit esiintyä muissa suurempien ulottuvuuksien vektoritiloissa. Ainoa suhde on, että jos # W # on alipaikka # V # sitten #dim (W) <= himmeä (V) # ja #dim (W) = himmeä (V) <=> W = V #