Vastaus:
Tee paljon algebraa sen jälkeen, kun olet määrittänyt raja-arvon, että kaltevuus on # X = 3 # on #13#.
Selitys:
Johdannaisen raja-määritelmä on:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Jos arvioimme tätä rajaa # 3x ^ 2-5x + 2 #, saamme ilmaisun johdannainen tämän toiminnon. Johdannainen on yksinkertaisesti tangenttilinjan kaltevuus kohdassa; näin arvioidaan johdannainen osoitteessa # X = 3 # antaa meille tangenttilinjan kaltevuuden # X = 3 #.
Tämän sanomalla aloitetaan:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + H) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (peruuta (3x ^ 2) + 6HX + 3h ^ 2-peruuttaa (5x) -5H + peruuttaa (2) -cancel (3x ^ 2) + peruuttaa (5x) -cancel (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6HX + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (peruuta (h) (6x + 3h-5)) / peruuta (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Tämän raja-arvon arviointi # H = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Nyt kun meillä on johdannainen, meidän on vain liitettävä # X = 3 # löytää tangenttilinjan kaltevuus:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Vastaus:
Katso alla oleva selitys, jos opettajasi / oppikirjasi käyttää #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Selitys:
Jotkut laskelman käytön esitykset, jotka kuvaavat kuvion kaaren tangentin viivan kaltevuutta #F (x) # kohdassa, jossa # X = a # on #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # edellyttäen, että raja on olemassa.
(Esimerkiksi James Stewartin 8. painos laskenta s 106. Sivulla 107 hän antaa vastaavan #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Tällä määritelmällä tangenttilinjan kaltevuus #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # kohdassa, jossa # X = 3 # on
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Huomaa, että tällä rajalla on määrittelemätön muoto #0/0# koska #3# on nolla nollaimessa olevasta polynomista.
Siitä asti kun #3# on nolla, tiedämme sen # X-3 # on tekijä. Joten voimme vaikuttaa, vähentää ja yrittää arvioida uudelleen.
# = lim_ (xrarr3) (peruuta ((x-3)) (3x + 4)) / peruuta ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Raja on #13#, niin tangenttilinjan kaltevuus on # X = 3 # on #13#.
